Propriété limite-asymptote

[Cr4sH]

Bonjour à tous,

Je fais en ce moment un dm de maths mais j'ai un petit problème.

On me demande dans un exercice de trouver 3 réels a,b,c tels que f(x)= ax + b + c/(1-2x). C'est facile mais après on me demande de prouver que la courbe de la fonction admet une asymptote oblique.
L'année dernière, les exercices étaient du type: "démontrez que la droite d'équation y= 3x+4 est une asymptote oblique" et j'avais qu'à appliquer la formule. Mais là, je sais que ax+b est l'asymptote mais je ne sais pas comment le rédiger. Mais dans cet exercice, il ne précise pas l'équation dans la question mais il y a la réponse dans la précédente et ça me frustre de savoir la réponse sans savoir rédiger comme il faut.

C'est pour ça que j'ai trouvé une espèce de propriété mais je ne pense pas qu'elle existe: "si f(x)=ax + b + g(x) avec la limite de g(x) en l'infini qui vaut 0, alors la droite d'équation y=ax+b est une asymptote oblique à la courbe représentative de la fonction f"
Elle marche mais la vrai propriété parlait plutôt de f(x)-(ax+b) donc je ne sais pas.

Je vous demande votre aide pour m'aider à rédiger (pour prouver qu'il y a une asymptote) si ma "prop" est fausse.

Merci d'avance,
Bonne soirée.

[Euler911]

Bonjour,

Utilise le fait que une fonction f admet une asymptote oblique en l'infini d'équation y=ax+b SSI et

NOTE: les formules citées plus haut sont les formules de Cauchy;)

[Euler911]

"si f(x)=ax + b + g(x) avec la limite de g(x) en l'infini qui vaut 0, alors la droite d'équation y=ax+b est une asymptote oblique à la courbe représentative de la fonction f"

Le propriété est juste! Encore faut-il la démontrer si tu ne l'a pas vue au cours!

[Cr4sH]

La démontrer? comment? c'est le problème!

Et si je dis:
f(x) = ax + b + c/(1-2x) <=> f(x) - (ax + b) = c/(1-2x)
or lim c/(1-2x) = 0 (quand x tend vers l'infini) donc lim f(x) - (ax + b) = 0 et donc la droite d'équation ax+b est une asymptote oblique à la courbe de f

Est-ce que c'est bon ou la méthode avec "ma propriété" est mieux?

[Euler911]

La démontrer? comment? c'est le problème!

En utilisant les formules de Cauchy que je t'ai donné... Elles sont "facilement" démontrables à partir de

[Euler911]

Est-ce que c'est bon ou la méthode avec "ma propriété" est mieux?

Pour moi ce que tu as écrit est correct mais peu rigoureux...

[Cr4sH]

merci de tes réponses.

le problème c'est que j'ai calculé des coefficients pour mettre f(x) sous la forme ax+b+c/(1-2x) donc il faut que j'utilises quelque chose en rapport non?

[Euler911]

En rapport avec quoi??? je ne te suis plus!

[Cr4sH]

il faut que j'utilise quelque chose (propriété ou autre) ayant un rapport avec la question d'avant qui nous donne en fait la réponse

[Euler911]

Et quelle est donc cette question???

[Cr4sH]

La question précédente était: Déterminer 3 réels a,b,c tels que que f(x)=ax+b+c/(1-2x).
Or je sais que ax+b est l'équation de l'asymptote mais le problème est la rédaction puisqu'il faut sûrement utiliser la question d'avant

[Euler911]

Ben tu réécris ta fonction avec les valeurs que tu as trouvé, ensuite tu calcules l'asymptote oblique en utilisant ta propriété ou en utilisant les formules de Cauchy!