Une propriété des parallélogrammes-niveau 2nde

[Fab-333]

Bonjour,
Je planche depuis 2 jours sur un exercice visant à démontrer une propriété d'un parallélogramme :mur: . Pouuriez-vous, dans la mesure du possible, m'aider svp ?
Voivi l'énoncé intégral :
ABCD est un parallélogramme. Les points I et K sont les milieux respectifs de [CD] et [AB]. Les droites (AI) et (CK) coupent respectivement la droite (BD) en M et N.
1.a)En utilisant le repère (A; vecteur AB; vecteur AD) démontrer que MINK est un parallélogramme.
b)Démontrer que les vecteurs DM, MN et NB sont égaux
2.Reprendre les questions précédentes en utilisant des méthodes géométriques.
PS : Je n'ai pas pu scanner le schéma qui correspond.PS 2 : Il nous est rensigné qu'il faut impérativement utiliser le centre O de ABCD.
MErci d'avance A bientôt

[yvelines78]

bonsoir,

exprime les coordonnées des points dans le repère
A (0;0)
B (1; 0)
D (0; 1)
C (1; 1)
K (1/2; 0)
I (1/2; 1)
0 centre de symètrie du parallèlogramme, 0 (1/2; 1/2)
vecAI(xi-xa; yi-ya), vecAI(1/2; 1)
de même vecKC(1/2; 1)
donc AKCI //logramme de centre O
M appartient [AI], N appartient à [KC], O centre de symètrie de AKCI donc O est milieu de [MN]
O milieu de [KI] (ABCD est //lo)et de [MN], donc MINK est un parallèlogramme

géomètriquement :
dans le quadrilatère AKCI :
ABCD //logramme, AB=DC, (AK)//(IC)
K milieu de [AB] et I milieu de [DC], donc AK=IC
un quadrilatère qui a 2 côtés opposés égaux et //s est un parallèlogramme, de centre O
O milieu de [KI] et de [MN] est aussi centre de symètrie de MINK

DM=MN=NB?
par les vecteurs :
vecDO=vecOB
vecMO=vecON
donc vecDO- vecMO=vecOB-vecON
vecDO+vec0M=vecOB+vecNO
vecDM=vecNB

O milieu de [MN] :
o(xm+xn/2; ym+yn/2) et O(1/2; 1/2)
xm+xn=1 et ym+yn=1





géomètriquement
dans le triangle DNC, I est milieu de [DC], (MI)//(KC)
réciproque du théorème de la droite des milieu x : M est milieu de [DN]

dans le triangle AIB, K esr milieu de [AB] , (KN)//(AI), de même, N est le milieu de [MB]

donc DM=MN=NB
donc AKCI est //lo de centre 0 et MO=ON

[Fab-333]

Merci beaucoup !
Je n'ai plus qu'une seule hésitation : peut-on remarquer quoi que ce soit sur les points M et N ? Coordonnées ? propriétés ?