[TS] Divisibilité dans Z.

[PaintItBlack]

Bonjour.

Je planche sur un exo que j'arrive pas à résoudre.

L'énoncé de l'exercice est :
"Soit a et n deux entiers naturels. Démontrer que, si a est un diviseur commun de 5n² + 17n + 10 et de n + 3 , alors a divise 4."

Dans un premier temps il faut je pense démontrer que a est bien diviseur de 5n² + 17 n + 10 et de n + 3, mais je suis déjà bloquer à ce stade.

On a vu à ce jour deux théorèmes qui sont :
"Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. On dit que a divise b s'il existe un entier relatif k tel que b= ak. On dit aussi que b est un multiple de a, ou que a est un diviseur de b."

et

"Soit a, b et c trois entiers relatifs non nuls. Si a divise b et b divise c alors a divise c".

J'aimerais des pistes pour débuter l'exo, car je ne sais comment m'y prendre.

Merci d'avance.

[Sa Majesté]

Si a divise b et c, il divise aussi b+kc
Reste à trouver k ...

[bobdu67]

tu n'a pas a montrer quoi que se soit, tu a une implication si P1 et vraie alors P2
donc ont suppose que P1 est vraie, tu a a qui divise 5n²+17n+10 et n+3 donc a divise 5n²+17n+10-5n(n+3)=2n+10
comme a divise n+3 et 2n+10 il divise 2n+10-2(n+3)=4
donc a divise 4
Ainsi ont a monter que si P1 est vraie alors P2 l'est aussi. CQFD

si a divise b et c donc a divise b-kc, c'est logique (b-kc)/a=b/a-kc/a et comme a divise b et c, (b-kc)/a et un entier

pour mon enchainement j'ai choisi arbitrairement k=-5n pour pouvoir éliminé le n², n et un entier donc k=-5n et aussi un entier

[PaintItBlack]

Merci pour vos réponses rapides.

tu n'a pas a montrer quoi que se soit, tu a une implication si P1 et vraie alors P2 donc ont suppose que P1 est vraie

D'accord.

Si a divise b et c, il divise aussi b+kc

Pourquoi? Comment tu en déduis ça avec les théorèmes donnés plus haut.

tu a a qui divise 5n²+17n+10 et n+3 donc a divise 5n²+17n+10-5n(n+3)=2n+10
comme a divise n+3 et 2n+10 il divise 2n+10-2(n+3)=4
donc a divise 4

Je saisis l'enchainement du calcul mais de de quelle façon tu trouves k = -5n. :triste:

[Sa Majesté]

En fait k=-(5n+2) que tu trouves en divisant 5n²+17n+10 par n+3