Devoir Maison Maths Expertes Divisibilité dans Z

[Bob1sérieux]

Bonjour et merci

J'ai dit : prenons un exemple (le premier venu!) P(x) = x+2, sur cet exemple a0=2 et a1=1
et il n'y a pas d'autre terme : c'est un polynôme de degré 1.
1 divise 2, c'est à dire 1 divise a0
P(1) = 1+2 = 3 , c'est à dire 1 N 'EST PAS une racine de P(x).
P(x)=x+2 est donc un contre-exemple à la réciproque de la propriété démontrée.
Autrement dit la propriété démontrée n'admet pas de réciproque, et c'est pour cela que,
pour chaque diviseur de a0, il convient de vérifier si oui ou non cet entier est racine de P(x),

J'ai compris le raisonnement mais ne faut il pas prendre un entier indépendant de x qui ne varie pas quand celui varie. Par exemple 1, 2, 3, ou -1, -2, -2 ?
À part ça j'ai tout compris
Merci beaucoup

[Rdvn]

Je ne comprend pas votre dernier doute.
Peut être faut il distinguer x, la variable réelle dans P(x),
et r une racine de P(x), c'est à dire un réel fixé tel que P(r) = 0.
on a établi :
si un entier r est racine de P(x) alors r divise a0,
la réciproque est :
si un entier r divise a0 alors r est racine de P(x), cette propriété est fausse comme le montre
le contre exemple, c'est à dire que, selon le choix de r, r est ou n'est pas racine de P(x),
il faut donc vérifier à chaque fois, pour chaque r qui divise a0

[Bob1sérieux]

Bonjour
si j'ai bien compris: la réciproque est " si x divise a0, alors x est solution de l'équation P(x)=0"
ne doit-on donc pas dire que "comme 1 divise a0 alors que P(1) n'est pas égal à 0" en utilisant la formule donnée P(x)=a0*1^0 + a1*1^1...+an*1^n = a0+a1+...+an donc on doit prouver que a0+a1+a2+a3+...+an est non nul ?
j'ai pas compris pourquoi on prend un polynôme comme x+2 qui vaudrait apparemment P(x) sachant qu'on parle nul part dans l'énoncé de x+2 et je ne sais pas comment prouver cela
Merci d'avance,

[Rdvn]

Non, vous n'y êtes pas du tout :
une assertion fausse , en mathématiques, peut se trouver vérifiée dans certains cas particuliers, mais elle n'est pas vérifiée TOUJOURS .
an+...+a1+a0=0 peut être vrai ou faux selon les valeurs des an,...,a1,a0 :
Pour P(x)=x+2, P(1) est non nul
Pour N(x)=x^2-2x+1, N(1)=0
La propriété réciproque n'est PAS TOUJOURS vérifiée, elle est donc FAUSSE
Il n'y a pas à justifier le choix de P(x)=x+2 : cet exemple là ou un autre...
on a un contre exemple ou la réciproque est fausse et ça suffit

[Bob1sérieux]

Non effectivement, je n'ai pas compris
Je suis d'accord qu'on peut prendre un exemple qu'on veut mais un exemple pour x et éventuellement pour n
Donc pour P(x)=x+2, a0=x, a1=2 et x=1 et n=1 comme ca P(x)=a0x^0+a1x^1 = x*x^0+2*1^1 = x+2 ?

[Rdvn]

Il faut TOUT revoir sur la notion de polynômes
a0=x est absurde , ça n'a aucun sens !
POUR TOUT x réel :
x^0=1 et x^1=x
donc POUR TOUT x réel :
P(x) =anx^n+...+a1x^1+a0x^0=anx^n+...+a1x+a0
les an..a1,a0 sont des réels donnés, fixés une fois pour toutes !
x est une variable réelle
Si on prend PAR EXEMPLE
P(x) = x+2
a1=1 et a0=2, x est une variable réelle
si on donne à la variable x la valeur 1, alors P(1)=1+2=3
on pourrait donner à x toute autre valeur réelle ! c'est ça une variable !

[Bob1sérieux]

oui je sais que x^0=1 et x^1=x
mais P(x)=an*x^n+...+a1*x+a0 pas x+2 mais dans un cas particulier P(x)=an*x^n+...+a1*x+a0 est valable tout le temps, même dans n'importe quel exemple. Donc pour affirmer qu'il existe un réel x tel que x+2=P(x), il faut justifier le fait x+2 peut s'écrire sous la forme an*x^n+...+a1*x+a0 non ?

[Rdvn]

Vous n'y êtes pas du tout :
a0,a1, ... ,an sont des données qui caractérisent le polynôme qu'on considère,
x étant au contraire une variable réelle.

Si NOUS FIXONS a0=2 et a1=1 nous avons alors P(x)=1x+2=x+2 (si vous préférez voir les choses ainsi nous
avons aussi fixé a2=0 ...an=0)
Et de même pour caractériser n'importe quel polynôme de n'importe degré.

[Bob1sérieux]

c'est bon j'ai compris merci beaucoup !

[Bob1sérieux]

J'ai écris ça:
La réciproque de la propriété « si P(x)=0, alors x divise a0 » est la propriété « si x divise a0, alors P(x)=0 ». Essayons de trouver un contre-exemple pour démontrer que cette propriété n’est pas vraie pour tout x et pour tout a0. Prenons n=1, a0=2 et a1=1, alors P(x)= a0x0 + a1x1 = 2×1 + 1x = 2+x. On prend par exemple x=1 or divise a0 donc P(1) devrait être égal à 0 si la réciproque était vraie or P(1)=1+2=3 donc la réciproque de la propriété « si P(x)=0, alors x divise a0 » est fausse dans le cas général.

[Bob1sérieux]

manque deux " ^ " : P(x)= a0x^0 + a1x^1 = 2×1 + 1x = 2+x

[Rdvn]

Cette fois ci ça va : pas de contre-sens, pas de confusion.
Je vous propose des modifications de détail pour alléger la rédaction (mais à vous de voir)
Bon WeekEnd
La réciproque de la propriété « si P(x)=0, alors x divise a0 » est la propriété « si x divise a0, alors P(x)=0 ».
Essayons de trouver un contre-exemple pour démontrer que cette propriété est fausse.
Prenons n=1, a0=2 et a1=1, alors P(x)= a0x^0 + a1x^1 = 2×1 + 1x = 2+x.
Les diviseurs de 2 sont 1,-1,2,-2.
On prend par exemple x=1 , P(1) devrait être égal à 0 si la réciproque était vraie, or P(1)=1+2=3 donc la réciproque de la propriété « si P(x)=0, alors x divise a0 » est fausse.
Remarque hors rédaction : dire que la réciproque est fausse ne signifie nullement qu'un diviseur de a0 n'est jamais une racine, cela signifie « on n'en sait rien » et c'est pour cela qu'il faut vérifier, pour chaque diviseur

[Bob1sérieux]

Bonjour,
Merci beaucoup !
Bon week end !