Terminale S- Spé maths-Divisibilité dans Z

[Lucie-C]

Bonjour, j'ai une question d'un exercice qui me pose problème.

On a d'abord calculer la somme Sp = 1-x +²-...+(-x)^p
On en déduit que quelques soient les entiers naturels x et n, x^(2n+1)+1 est divisible par x+1 et que quelques soient les entiers naturels p et k, si k est impair, alors (2^2p)k+1 est divisible par 2^2p+1.
La question est 4) Soit m un entier naturel non nul. Montrer que si 2^m+1 est premier alors m est premier.

J'ai donc fait deux cas :

Soit m un entier naturel non nul.
1er cas : m est un entier pair
Posons m=2pk où k est un entier naturel impair et p un entier naturel. Alors, 2^m+1 a pour diviseur positif 2^(m/k)+1 (question 3) (où m/k est un entier naturel).
Or, si 2^m+1 est premier alors il a pour unique diviseur positif 1 et lui-même. Donc :
2^(m/k)+1=1
Ou 2^(m/k)+1=2^m+1

2^(m/k) +1 = 1 ;) 2^(m/k)=0 ce qui est impossible.

Il ne reste plus qu’un seul cas :
2^(m/k)+1 = 2^m+1
2^(m/k)=2^m
m=mk donc k=1 ou k=m=1.
Donc quand 2^m+1 a pour unique diviseur lui-même, m est seulement divisible par 1.

2e cas : m est un entier impair
Posons m=2n+1 où n est un entier naturel et x=2. Alors, 2^m+1 est divisible par 3 (question 2).
Si 2^m+1 est premier alors il ne possède que deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Alors :
3 = 1 (ce qui est impossible) ou 2^m+1 =3
Il ne reste qu’un cas possible :
2^m+1=3
2^m=2
Donc m=1

Dans les deux cas, on peut trouver m=1 mais 1 n'est pas un entier premier... :hein:
Je dois avoir fait une erreur dans mon raisonnement mais je ne vois pas..
Merci d'avance pour votre aide. :happy2:

[Nightmare]

Salut !

Il faudrait utiliser ce que tu as fait !

Supposons m non premier, ie m=pq avec p et q entiers naturels.

Alors est divisible par 2^p-1 (ce que tu viens de montrer) donc n'est pas premier (car p différent de 1)

[Lucie-C]

Donc si j'ai bien compris...
il suffit simplement de montrer que si m n'est pas premier 2^m+1 n'est pas premier ? Et donc que si 2^m+1 est premier, m ne peut que etre premier ??

[Nightmare]

exactement, cela s'appelle un raisonnement par contrapposition : Au lieu de montrer que A => B on montre que non(B) => non(A)

[Lucie-C]

D'accord, je ne savais pas que ce raisonnement s'appelait comme ça..
En tout cas, merci beaucoup ! :we: Je viens de le faire et j'ai tout compris.