Problème sur le chapitre Divisibilité dans Z de terminale S

[Sarah-D38]

Bonjour, je suis en spé math et notre professeur nous a demander de résoudre un problème mais je ne vois pas par ou commencer, vu qu'on viens juste de commencer le cours et je comprend pas vraiment. J'ai essayer de le faire mais je ne trouve rien.

Problème :

Dans une île, 45 caméléons peuvent prendre l'une des trois couleurs : jaune , vert et bleu.
Un jour donné, il y a 17 caméléons jaunes, 15 caméléons verts et 13 bleus.

Lorsque deux caméléons se rencontrent, ils cherchent à avoir la même couleur. Ainsi, soit ils sont de la même couleur et ils la conservent; soit ils ont des couleurs différents et ils prennent alors tous les deux la troisième couleur.
Est-il possible, qu'après un certain nombre de rencontres, tous les caméléons soient de la même couleur ?

Moi j'ai essayer de trouver un rapport avec la congruences (on travaille sa en cours ), mais je ne vois pas de raisonnement. J'aimerais bien comprendre comment sa marche, car pour l'instant je n'est pas compris.

Je remercie tous ceux qui vont répondre.

[Monsieur23]

Aloha,

On appelle Jn, Vn et Bn les suites qui représentent le nombre de caméléon de chaque couleur après n rencontres (on a donc J0 = 17, V0 = 15 et B0 = 13).

Qu'est ce que tu peux dire de l'évolution de ces trois suites modulo 3 ? (quelles que soient les rencontres)

[Sarah-D38]

Aloha,

On appelle Jn, Vn et Bn les suites qui représentent le nombre de caméléon de chaque couleur après n rencontres (on a donc J0 = 17, V0 = 15 et B0 = 13).

Qu'est ce que tu peux dire de l'évolution de ces trois suites modulo 3 ? (quelles que soient les rencontres)

Merci d'avoir répondu,
Donc, on peut dire que l'évolution de ces 3 suites modulo 3 montrent bien qu'il est impossible que les tous caméléons soient de la même couleur.
Mais le problème, c'est que je ne sais pas comment le prouver.
Est-ce que je dois remplacer n par plusieurs nombres entiers divisibles dans Z ?

Merci beaucoup d'avoir pris le temps de répondre à mon problème.
Et merci à tous ceux qui prendront le temps de me répondre.

[Ben314]

Salut,
Il semblerais que tu n'ait pas compris l'indication de monsieur23.
A quoi sont égaux les trois nombre de départ 17, 15 et 13 modulo 3 ?
Si par exemple un Jaune et un Vert se rencontrent, il y aura combien de caméléons de chaque couleurs ? et modulo 3, ces trois nombres seront égaux à quoi ?
Et si ensuite un Vert et un rouge se rencontrent, il y aura combien de caméléons de chaque couleurs ? et modulo 3, ces trois nombres seront égaux à quoi ?
...

[Sarah-D38]

Salut,
Il semblerais que tu n'ait pas compris l'indication de monsieur23.
A quoi sont égaux les trois nombre de départ 17, 15 et 13 modulo 3 ?
Si par exemple un Jaune et un Vert se rencontrent, il y aura combien de caméléons de chaque couleurs ? et modulo 3, ces trois nombres seront égaux à quoi ?
Et si ensuite un Vert et un rouge se rencontrent, il y aura combien de caméléons de chaque couleurs ? et modulo 3, ces trois nombres seront égaux à quoi ?
...

Bonjour, merci d'avoir répondu.
J'ai remarquer que les trois nombre de départ :
17 est congrus à 2
15 congru à 0
13 congru à 1
Modulo 3

Après j'ai fait un tableau pour voir les suites :
17n a un reste qui appartient a 1 et 2
15n a un reste nul
13n a un reste qui appartient a 1 et 2
Modulo 3

Mais je sais pas comment utiliser toute ces informations pour prouver que c'est impossible que tous les caméléons ont la même couleur.
Je remercie tous ceux qui vont répondre.

[zygomatique]

salut

il me semble que tu n'as toujours pas compris

soit j, v, et b le nombres de caméléons à un instant donné

un j et un v se rencontrent

combien y a-t-il de caméléons de chaque couleur à l'instant suivant ?

[Sarah-D38]

salut

il me semble que tu n'as toujours pas compris

soit j, v, et b le nombres de caméléons à un instant donné

un j et un v se rencontrent

combien y a-t-il de caméléons de chaque couleur à l'instant suivant ?

Bonjour,
Bah il y a 16j , 14v, 14b.
Mais sa va me servirent a quoi pour prouver ?

[zygomatique]

Bonjour,
Bah il y a 16j , 14v, 14b.
Mais sa va me servirent a quoi pour prouver ?

non il y a j -1, v - 1 et b + 2 ....

ensuite que te demande ben314 ?

....

[Sarah-D38]

non il y a j -1, v - 1 et b + 2 ....

ensuite que te demande ben314 ?

....

Bonjour.
Il me demande "si ensuite un vert et un bleu se rencontrent il y auras combien de caméléon de chaque couleur ? Et modulo 3, ces trois nombres seront égaux à quoi ?"
Bah il y auras j-1+1, v-1-1 et b+2-1
Donc il y a j, v-2 et b+1
Es ce que c'était ceci qui fallait trouver ?
Et encore merci de m'aider.

[Ben314]

Personnellement, ce que je t'incitait à faire, c'est de regarder, si au départ il y en a 17 jaunes, 15 verts et 13 bleus, combien il y en a après qu'un Jaune et un Vert se soient rencontrés ? et modulo 3, ces trois nombres seront égaux à quoi ?
Si ensuite un Vert et un Rouge se rencontrent, il y aura combien de caméléons de chaque couleurs ? et modulo 3, ces trois nombres seront égaux à quoi ?
Puis, si de nouveau un Jaune et un Vert se rencontrent ça donne quoi ? et modulo 3 ?

En math, si on ne voit pas comment ça marche, il est souvent conseillé de commencer par des exemples avant d'attaquer le cas général (donc ici, le cas où il y aurait J jaunes, V verts et B bleus)

[Sarah-D38]

Personnellement, ce que je t'incitait à faire, c'est de regarder, si au départ il y en a 17 jaunes, 15 verts et 13 bleus, combien il y en a après qu'un Jaune et un Vert se soient rencontrés ? et modulo 3, ces trois nombres seront égaux à quoi ?
Si ensuite un Vert et un Rouge se rencontrent, il y aura combien de caméléons de chaque couleurs ? et modulo 3, ces trois nombres seront égaux à quoi ?
Puis, si de nouveau un Jaune et un Vert se rencontrent ça donne quoi ? et modulo 3 ?

En math, si on ne voit pas comment ça marche, il est souvent conseillé de commencer par des exemples avant d'attaquer le cas général (donc ici, le cas où il y aurait J jaunes, V verts et B bleus)

Bonjour, merci d'avoir répondu.
Quand un jaune et un vert se rencontrent alors il y a 16J, 14V et 15B. Donc ces suites seront égaux a j-1, v-1 et b+2.
Si ensuite un vert et un bleu se rencontrent alors il y auras 18J, 13V et 14B. Donc ces suite seront égaux a j-1+2, v-1-1 et b+2-1 donc j+1, v-2 et b+1.
Puis si un jaune et un vert se rencontrent alors il y auras 17J, 12V et 16B. Donc ces suites seront égaux à j+1-1, v-2-1 et b+1+2 donc j, v-3 et b+3.

Es cela qui fallait faire ? Es ce que cette fois ci j'ai répondu correctement a toutes les questions ?
Encore merci.

[paquito]

On ne tient pas compte des caméléons qui gardent la même couleur; au départ tu as:

17=-1 [3]
15=0 [3]
13=1 [3] un J rencontre un V; on a:

17-1=-2=1 [3]
15-1=-1 [3]
13+2=3=0 [3],


tu peux faire toutes les expériences que tu veux, obligatoirement, un des 3 nombres sera =-1 [3], le second=1 [3] et le 3° sera =0 [3]; Pourra-t'on avoir autant de V que de B ???

[Sarah-D38]

On ne tient pas compte des caméléons qui gardent la même couleur; au départ tu as:

17=-1 [3]
15=0 [3]
13=1 [3] un J rencontre un V; on a:

17-1=-2=1 [3]
15-1=-1 [3]
13+2=3=0 [3],


tu peux faire toutes les expériences que tu veux, obligatoirement, un des 3 nombres sera =-1 [3], le second=1 [3] et le 3° sera =0 [3]; Pourra-t'on avoir autant de V que de B ???

Bah non, donc je dois juste dire que les reste sera toujours -1, 1, et 3 ?
Mais pour affirmer cela il faut montrer pour tout n mais je suis vraiment désolé mais je ne vois pas comment passe de cette explication a une démonstration par rapport a n. Car j'ai fait un tableau avec différent n, mais je ne sais pas l'expliquer.
Encore merci de m'aider.

[Sarah-D38]

On ne tient pas compte des caméléons qui gardent la même couleur; au départ tu as:

17=-1 [3]
15=0 [3]
13=1 [3] un J rencontre un V; on a:

17-1=-2=1 [3]
15-1=-1 [3]
13+2=3=0 [3],


tu peux faire toutes les expériences que tu veux, obligatoirement, un des 3 nombres sera =-1 [3], le second=1 [3] et le 3° sera =0 [3]; Pourra-t'on avoir autant de V que de B ???

Euh, j'aurais une question, 17 est congru a -1 ou a 2 (car moi j'ai trouve que 17 est congru à 2 modulo 3) ?

[Sarah-D38]

On ne tient pas compte des caméléons qui gardent la même couleur; au départ tu as:

17=-1 [3]
15=0 [3]
13=1 [3] un J rencontre un V; on a:

17-1=-2=1 [3]
15-1=-1 [3]
13+2=3=0 [3],


tu peux faire toutes les expériences que tu veux, obligatoirement, un des 3 nombres sera =-1 [3], le second=1 [3] et le 3° sera =0 [3]; Pourra-t'on avoir autant de V que de B ???

Encore une fois désolé de vous déranger mais je n'est pas trouver comme vous sur les 3 nombre je trouve =1[3], le second =2[3], et le dernier =0[3].
Peut être que je me suis trompé donc j'aimerais bien savoir comment vous trouver le -1 s'il vous plaît. Et encore merci.

[zygomatique]

2 = -1 car 2 - 3 = -1

...

[paquito]

n=2 [3] ou n=-1 [3} , c'est pareil ! donc [3] tu ajoutes partout -1 à chaque étape donc le terme=-1 [3]devient -2=1[3], celui =0 [3] devient -1 [3] et le terme =1[3] devient 0[3].