Devoir Maison Maths Expertes Divisibilité dans Z

[Bob1sérieux]

Bonjour,
J'espère que vous allez bien,
J'ai un Devoir Maison à faire et j'aimerai quelques pistes pour m'en sortir j'ai fais la moitié du DM et je suis bloqué pour le reste ,
J'y ai déjà passé une quinzaine d'heure....
Exercice 4: a0, a1, a2, ... an sont des entiers relatifs et n est un entier naturel supérieur ou égal à 1. ON considère la fonction polynôme P définie sur R par P(x)=an*x^n+an-1*x^n-1+....+a1x^1+a0x^0.
Question: Démontrer que si un entier relatif x est solution de l'équation P(x)=0, alors x divise a0 puis énoncer la réciproquer et dire si elle est vraie ou non. Justifier avec soin. En déduire: 2x^3+5x^2-7x+2=0 admet des solutions ? Justifier avec soin.

Exercice 5 (question b, mais question a inutile): n appartient à N, déterminer le quotient et le reste dans la division euclidienne de 2^(n+1) -1 par 2^n . J'ai trouvé un reste de -1 avec un quotient de 2 or r doit être positif et 2 n'est pas forcément inférieur à 2^n (2<2^0 or 0 est dans N)

Exercice 6: n appartient Z, déterminer toutes les valeurs pour lesquelles 2n+1 divise n² c'est-à-dire quand n²/2n+1 appartient à Z

Voila, j'ai tout donné,
J'espère que quelqu'un peut m'aider,
Merci d'avance et bonne journée !

PS: je conseille aux premières de bien réfléchir avant de prendre l'option Maths Expertes....

[Rdvn]

Bonjour
Avez vous vu les congruences ?
Ce serait plus facile avec ...on peut aussi faire sans (ci dessous)
Quelques pistes
Ex4
Puisque P(x)=0, on peut écrire a0 = …
La réciproque : non (il est aisé de trouver un contre-exemple)
L'application numérique : n'y aurait-il pas une erreur ?

Ex5 (à part : n=0
2^(n+1)-1=2.2^n-1 était une bonne idée, il faut la poursuivre :
sur un axe représentez (sans tenir compte de l'échelle)
2^n
2.2^n
2^(n+1)-1=2.2^n-1
vous avez alors idée du reste, et donc du quotient

Ex6
Exploitez
4n^2-1=(2n+1).(2n-1)
(Pour trouver cette piste j'ai utilisé la division euclidienne des polynômes mais je ne sais pas si vous l'avez vu en Terminale, c'est ce qui m'a convaincu de partir de 4n^2, il y a peut être des solutions plus élégantes mais celle ci a le mérite de n'utiliser que peu de près-requis)
Proposez vos essais
Bon courage

[Bob1sérieux]

Bonjour,
Merci beaucoup !!! Quelle efficacité !
Oui j'ai vu les congruences mais je maitrise pas trop encore,
ex4
a0 = a0x^0 donc x divise a0 car a0 est un multiple de x^0 donc de a0 ??? il faut étendre au cas général et la je sais pas...
Pour le contre-exemple, pour x=0, P(x)=a0*0+a1*0+....+an*0=0 or 0 divise aucun nombre donc la réciproque est fausse ?
L'application numérique c'est exactement ce qu'il y a marqué sur mon sujet donc je sais pas... ?

ex5 j'ai compris:
2^(n+1)-1=2^n * 2 -1
2^(n+1)-1=2^n*(2-1)-1+2^n
2^(n+1)-1=2^n-1+2^n
donc reste=-1+2^n or comme n>=0, 2^n>=1 (je sais pas comment dire de manière rigoureuse)
donc reste=-1+2^n>=0
donc le reste est -1+2^n le quotient est 1 et cela vérifier 0<=r<q donc c'est vrai !!!

ex6 On a vu très brièvement la division euclidienne des polynômes dans des exos mais juste pour factoriser un polynôme du second degré.
Sinon j'ai multiplié en haut et en bas par 2n-1 ce qui me fait
n²/2n+1=n²(2n-1)/(2n+1)(2n-1)=4n²-n²/(2n+1)(2n-1) or 4n²=(2n+1)(2n-1) donc 4n²-n²/(2n+1)(2n-1)=(2n+1)(2n-1)-n²/(2n+1)(2n-1)=[(2n+1)(2n-1)/(2n+1)(2n-1)] - [n²/(2n+1)(2n-1)]=1- n²/(2n+1)(2n-1) mais je vois pas trop l'aboutissement

Encore merci
Bonne soirée !

[Rdvn]

Il y a des choses à améliorer
Je rédige la suite, c'est long !
Voyez un peu plus tard

[Rdvn]

Ex5
ça va, vous avez compris, améliorez la rédaction (ici toujours n>0)
2^(n+1)-1=1*2^n+2^n-1
où on a bien 0<ou=2^n-1<2^n
donc...(la conclusion)
suite à consulter (ça arrive)

[Rdvn]

Ex4
P(x) =0
donc a0=x(-(an)x^(n-1)... -a1)
donc x divise a0
(au passage on suppose a0 non nul, sinon cela n'a aucun intérêt,
pour a0=0 on met x en facteur tout de suite )
application on cherche les racines entières x possibles parmi les diviseurs de a0, sans oublier les diviseurs négatifs,
Réciproque : clairement fausse, considérer x=1 (terminez...)
L'application numérique : ou je me suis trompé ou aucun des diviseurs de 2 n'est racine...

[Rdvn]

Ex6
Il faut faire plus simple
4n^2-1=(2n+1).(2n-1)
donc
4n^2 – (2n+1).(2n-1)=1
concluez, si on suppose que 2n+1 divise n^2
Bon courage

[Bob1sérieux]

Bonjour,
Encore merci !
ex4 Pas compris d'ou sort le -an et le -a1 car a0 = P(x) - a1x^1...anx^n = x(a1+a2x^1...anx^{n-1})
pour x=1 c'est bon 1 divise forcément a0 et 1 ne résout pas P(x) = 1 car P(x)=a0+a1+...+an non nul car somme d'entier consécutifs non nul
application numérique je fais comment ? On a vu la racine cubique de cardan mais la consigne est "en déduidre"

exercice 5: j'ai conclut: Le seul couple de solution de la division euclidienne de 2n+1-1 par 2n est donc S={(1;2n-1)}.

ex6: 2n+1 divise (2n+1)(2n-1) et (2n+1)(2n-1) divise 4n² donc (transitivité) 2n+1 divise 4n² comment on passe à n² ???

Merci d'avance

[Bob1sérieux]

PS: j'ai pas parlé de la question a de l'ex5 car je croyais avoir réussi:
Trouver le quotient et le reste de la division euclidienne de 38367 par 152 SANS FAIRE DE CALCUL sachant que 38367 = 152*251+215
or 215>152 donc c'est pas le reste
donc faut rajouter 1 fois 152 et il reste 63
donc 38367 = 152*252+63 avec q=252 et r=63et avec 0<=63<152
Mais du coup j'ai fais un calcul donc je sais pas

[Rdvn]

Bonjour

Votre ex5a : pour moi ça va, je pense que c'était juste un échauffement pour la b
(sans calcul : sans effectuer la division, me semble-t-il),
ex5b ça va, mais avec les bonnes notations, 2^n pas 2n
Est ce votre professeur qui exige un « couple solution » ?
J'aurais conclu :
dans la division de...par...le quotient est 1et le reste est …

Ci dessus : on n'y revient plus
suite au prochain envoie

[Bob1sérieux]

Bonjour,
Mon professeur adore la rigueur et veux que ce soit pareil que dans le cours donc oui je pense qu'il faut le mettre, mais je rajoute la phrase donc j'ai mis:
La division euclidienne de 2^(n+1)-1 par 2n est donc 2^(n+1)-1=2^n + 2^n -1 avec un quotient q=1 et un reste r=2^n-1 et avec 0<=2^n -1 <2^n. Le seul couple de solution de la division euclidienne de 2^(n+1)-1 par 2^n est donc S={(1;2^n-1)}.

Désolé pour la faute de frappe j'ai copier collé et j'ai oublié de modifier l'exposant

[Rdvn]

ex4
ATTENTION gros contre-sens : rien ne dit que les a0, a1,...,an soient des entiers consécutifs !
Ce sont des entiers quelconques !
Mais pour la réciproque (fausse)il suffit de trouver un polynôme contre-exemple :
le premier venu fera l'affaire : P(x)=x+2, 1 divise 2, P(1) est non nul .
Puis je reprends : SI x est racine de P, P(x)=0
donc anx^n+...+a1x+a0=0 donc a0 = -anx^n-...-a1x = x(-anx^(n-1)-...-a1)
et ainsi x divise a0 (sauf si x=0, ce qui se voit immédiatement : a0=0)
Pas de réciproque comme déjà vu:
il convient de vérifier chacun des diviseurs de a0 : est-il racine de P ?
L'application numérique : les seuls candidats sont 1,-1,2,-2 vérifiez mais aucun n'est racine
(utiliser les formules de Cardan n'est pas du tout dans le contexte de cet exercice)
suite à venir

[Rdvn]

pour votre dernier ajout
reste r=2^n-1 car 0<=2^n-1<2^n
"Le seul couple" laisserait entendre qu'il pouvait y en avoir plusieurs , "le couple" me parait préférable (cours : il y en a un et un seul de toute façon)

[Rdvn]

Suite de la suite
ex6 Pourquoi aller chercher un vocabulaire si lourd ? Faites simple :
Pour tout entier n :
4n^2-1=(2n+1).(2n-1) donc
4n^2-(2n+1).(2n-1) =1

Si 2n+1 divise n^2 alors il existe un entier k tel que n^2=k(2n+1) et alors
4k(2n+1)-(2n+1).(2n-1) =1
donc
(2n+1).(4k-(2n-1))=1
donc 2n+1 divise 1
A vous à présent : quels sont les diviseurs de 1 , dans Z ?

[Bob1sérieux]

ex5 conclusion modifié merci beaucoup,
ex6 si on dit "si 2n+1 divise n² alors ... " on suppose ce qu'on veut démontrer non ?
sinon j'ai compris le raisonnement
Div1 = {1; -1} donc on essaie pour les 2 valeurs:
1²/(2*1 +1) = 1/3 pas dans Z donc 1 n'est pas solution
-1²/(2*-1 +1)=1/-1=-1 donc -1 est la seule solution telle que n²/2n+1 appartient à Z
S={-1}

ex4 j'essaye de comprendre
ok pour la 1ere démonstration je le rédige

Mais pour la réciproque (fausse)il suffit de trouver un polynôme contre-exemple :
le premier venu fera l'affaire : P(x)=x+2, 1 divise 2, P(1) est non nul .

on prend x+2 pour le contre exemple ? il ne faut pas prendre un entier ? et j'ai pas compris pourquoi P(1) est nul donc.

application numérique comment on sait que les seuls candidats sont 1, -1, 2, -2 ?

Merci beaucoup de prendre le temps parce que j'ai vraiment l'impression d'être très bête

[Rdvn]

ex6
On ne suppose pas ce qu'on veut démontrer : on ne fait qu'établir une condition nécessaire pour que 2n+1 divise n^2, et cette condition est que 2n+1 divise 1(comme on n'a pas établi que cette condition est suffisante, il faudra vérifier que 2n+1 divise n^2 pour les n trouvés)
Vous vous trompez dans votre conclusion, les diviseurs de 1 sont bien 1 et -1, mais :

2n+1=1 donc n=0
2*0+1=1, 0^2=0, 1 divise 0, donc 0 convient

2n+1= -1 donc n= -1
2*(-1)+1=-1, (-1)^2=1, -1 divise 1, donc 1 convient
Et à cause de la condition nécessaire, il n'y a aucun autre n tel que 2n+1 divise n^2 .

[Rdvn]

Ex4

Faites attention : j'ai bien dit P(1) est NON nul (en effet P(1)=1+2=3)

Ce contre-exemple montre que 1 divise 2 (2 est le terme a0 pour P(x)=x+2) mais que 1 n'est pas racine de
P(x) = x+2 : il n'y a pas de réciproque à la propriété démontrée.
(C'est un contre exemple parmi une infinité d'autres : j'ai pris le premier venu …)

Pour l'exemple numérique : on cherche parmi les diviseurs de a0=2, ces diviseurs sont 1,2,-1,-2
Mais aucun ne convient , aucun n'est racine de P(x) : je pense qu'il y a une erreur d'énoncé.
(ce n'est pas un problème en soi qu'un polynôme n'ait aucune racine entière, ici c'est bizarre dans le contexte de l'exercice proposé)

[Bob1sérieux]

ex5 et 6 fini merci beaucoup
oui j'ai oublié une étape 2n+1=1 et non n=1

ex4: j'y réfléchi demain matin à tête posé

Bonne soirée et merci

[Bob1sérieux]

Bonjour,

ex4.
démonstration: c'est bon
contre exemple: P(1)=1+2 ?? ca voudrait dire que P(x)= x+2 donc x
+2 = a0*x^0+a1*x^1+.... +an*x^n
Sinon P(x+2) = a0+a1(x+2)^1+.... +an(x+2)^n
Donc P(x+2) = a0+(x+2)(a1(x+2)^0+...+an(x+2)^{n-1})
donc il faut montrer que soit a0 est non nul, soit x+2 et (a1(x+2)^0+...+an(x+2)^{n-1}) sont non nuls
application numérique comment on sait que a0 =2 ? si a0 =2 alors a1=-7 et a2=5 et a3=2 et n =3?

Merci d'avance,

[Rdvn]

Je crois que les notations de votre énoncé vous égarent lourdement, voyez avec soin :
x^0 = 1
x^1 = x
donc P(x) = anx^n+ ...+a1x+a0, polynôme « général » de degré n.

Je n'ai JAMAIS parlé de P(x+2)
J'ai dit : prenons un exemple (le premier venu!) P(x) = x+2, sur cet exemple a0=2 et a1=1
et il n'y a pas d'autre terme : c'est un polynôme de degré 1.
1 divise 2, c'est à dire 1 divise a0
P(1) = 1+2 = 3 , c'est à dire 1 N 'EST PAS une racine de P(x).
P(x)=x+2 est donc un contre-exemple à la réciproque de la propriété démontrée.
Autrement dit la propriété démontrée n'admet pas de réciproque, et c'est pour cela que,
pour chaque diviseur de a0, il convient de vérifier si oui ou non cet entier est racine de P(x),
Dans votre devoir P(x) =2x^3+5x^2-7x+2 ,
a0=2, les diviseurs de 2 sont 1,-1,2,-2 ; Aucun ne convient, je soupçonne une erreur d'énoncé.