Limite faible*

[Kyoki]

Bonjour,

Je suis confronté à un problème, sans savoir si un théorème que je ne connais pas m'en donne la solution, ou même un raisonnement simple.

On considère une suite de fonctions , avec , et telles que est convexe pour tout

Alors si la suite converge faible* vers la fonction est convexe pour tout Je n'arrive pas à montrer ce résultat.

[alavacommejetepousse]

bonsoir
je ne comprends pas

la convergence faible* concerne les formes linéaires continues

fn(.,u) n'en est pas une

[busard_des_roseaux]

bjr,

je n'ai pas tout compris:

[Kyoki]

En effet, mon énoncé n'est pas clair. Je vais reformuler.

On considère une suite de fonctions , avec boréliennes, qui ont les propriétés suivantes :

- est convexe pour tout
- pour tout et pour des constantes positives

Je veux montrer que si converge faible* vers pour tout alors vérifie les mêmes propriétés que les fonctions de la suite (convexité et bornes).

(On dit que converge faible* vers (dans si on a , pour tout . Les fonctions sont donc vues dans muni de la topologie faible.)

Une de mes idées était d'utiliser le théorème de differentiation de Lebesgue en définissant une fonctionnelle comme une primitive de . Une autre idée était à nouveau d'utiliser une primitive, en ayant le résultat que la semi-continuité inférieure faible de cette primitive implique la convexité de l'intégrand.

[Kyoki]

Petit ajout : J'arrive à montrer la convexité presque partout de la fonction limite . Il ne me manque que le pas "presque partout" "partout".

[alavacommejetepousse]

pour les inégalités je n'ai pas trop compris (le c2 est tout seul ?)
mais pour la convexité

on écrit la convexité pour fn on multiplie par phi >=0 dans L1
on intégre on passe à la limite et on a une fonction h telle que

l'intégrale de phi h est négative pour tout phi >=0 ça implique que h=<0 pp

car sinon il existerait k >0 et I non négligeable tel que sur I , h >k et en prenant phi nulle hors de I et valant 1 sur I on aurait une contradiction