Topologie faible

par **Als128** » 22 Déc 2009, 22:57

Bonsoir,

je suis en train d'effectuer un exercice et j'ai du mal avec la correction (je dirais même que ça devient une habitude... :triste: ) L'objet du délit est le suivant :

Soit E un espace de Banach séparable, on note E' son dual topologique et B la boule unité fermée de E'.
Dans la question précédente, on a définit une suite libre et totale d'éléments de E de norme 1

Soit x et y des éléments de B. On pose :
Montrer que D est une distance sur B et qu'elle definit sur B la topologie faible

Démontrer que c'est une distance ne pose aucun problème. en revanche j'ai séché sur la "topologie faible", notion nouvelle pour moi. J'ai regardé le cours et comparé avec la solution et je suis un peu à la rue :briques:

La solution dit :

L'exercice revient à montrer successivement les inclusions mutuelles des systèmes de voisinage d'un élément a de la boule pour les topologies faibles et induites par la distance d. Il faut donc montrer les 2 implications suivantes :

Comme je pense que mes problèmes proviennent de ma difficulté à assimiler la notion de topologie faible, une ame charitable aurait elle la bonté de m'expliquer cette notion en utilisant la résolution de l'exercice ? :help:

Merci....

par **SlowBrain** » 22 Déc 2009, 23:21

pardon, mais tu ne définis pas un.

par **Als128** » 22 Déc 2009, 23:29

C'est bon j'ai rajouté dans le message... Merci pour la précision !

par **Ben314** » 23 Déc 2009, 00:02

Salut,
Faire tout la correc. de l'exo, j'ai un peu la flemme...
Peut tu un peu plus préciser à quel endroit ça coince ?
La première inclusion me parrait "assez simple" en utilisant la définition de famille totale.
Je regarde la deuxième...

P.S. Il me semble que dans la première inclusion, il y a une faute de frappe : c'est "pour tout u de E" et pas "pour tout u de B' "...

par **legeniedesalpages** » 23 Déc 2009, 00:06

Bonsoir,

Ici il s'agit en fait de la topologie *-faible

, qui est la topologie la moins fine sur E' rendant les formes linéaires suivantes continues:

à chaque

, on associe la forme linéaire

.

Cherche le théorème de banach-alaoglu sur internet dans le cas séparable.

par **Als128** » 23 Déc 2009, 00:17

Désolé je me suis mal exprimé...

L'exercice revient à montrer successivement les inclusions mutuelles des systèmes de voisinage d'un élément a de la boule pour les topologies faibles et induites par la distance d. Il faut donc montrer les 2 implications suivantes :

le coeur du problème pour moi, c'est de m'expliquer pourquoi ce raisonnement de départ répond à la question posée qui est de montrer que la distance définit une topologie. (la *-faible comme le sous entends legeniedesalpages)

Comme j'ai des difficultés à comprendre cette notion, je ne vois pas comment cette assertion répond à la question.

Pour le déroulement de la demonstration j'ai le manuel (qui pour une fois semble assez bien fait, allelluiah) :zen:

Je vais de ce pas consulter Wiki !

Merci...

par **legeniedesalpages** » 23 Déc 2009, 00:22

Une distance induit toujours une topologie, ici tu veux montrer que cette topologie est l'*-faible. En fait, le but de ton exo c'est de montrer que la topo *-faible est métrisable sur la boule unité de E', quand E est séparable (condition nécessaire voire suffisante?).
La topo *-faible est plus pauvre que la topologie forte qui est celle associée à la norme E', mais elle a plus de compacts.

par **Als128** » 23 Déc 2009, 00:30

D'accord. Mais dans ce cas, comment le raisonnement posé au départ de la solution (et la démonstration qui en découle) prouve que la topologie définie est la *-faible ?

par **legeniedesalpages** » 23 Déc 2009, 00:38

Pour chaque

, tu montres que tout

-voisinage est un

-voisinage, et inversement.
Mais on peut se restreindre à parcourir des bases de voisinages en fait.

par **alainh** » 23 Déc 2009, 00:42

Bonjour , j 'ai un probleme pour un devoir sur les probabilités

j 'ai un rapport de 1 chance sur 13 d 'avoir un numero qui sort ds ma selection

combien de chances j 'aurai si je joue ce meme numero pendant six tirages de maniere consecutives ou si j 'ai bien compris mon prof ça veut dire la meme chose combien j 'aurai de chances au sixieme tirages idem pour le 12 etc....

ensuite il rajoute un probleme

idem mais en faisant partir plusieurs boules qui ont tjrs un rapport de 1 chance sur 13 par exemple 3 boules si je les joue en meme temps combien de chance j 'aurai d'en avoir au moins 1 sur 3 au 6 tirages 2 sur 3 ou 3 sur 3 au 6° tirages

pareil si on le fait avec 10 boules 15 boules etc

je n 'y comprends rien merci ça serait sympa si quelqu 'un voudrait prendre un epetit peu de son temps pour m 'aider

par **Ben314** » 23 Déc 2009, 00:55

Pour alainh, tu devrait mettre ton post dans une nouvelle discution, sinon ça va être le b.... :
clique sur "modifier en dessous", selectionne tout le post avec la souris, fait un copier, puis retourne au forum supérieur et clique sur "nouvelle discution" et recolle le contenu. Ensuite revient sur "modifier" pour le premier post, cohe la case "suppression logique" et clique sur supprimer...

par **Ben314** » 23 Déc 2009, 00:59

Pour Als128 : tu veut prouver que les deux topologies sont les mêmes et pour cela, tu montre que les voisinages d'un point (ici le point a) sont les même pour les deux topo.
La première 'phrase logique' montre qu'un voisinage V de a pour la topo faible contient un voisinage W de a pour la distance d ce qui prouve que V est un voisinage de a pour d.
La deuxième phrase logique montre l'inclusion inverse.

C'est ça qui te posait problème ?

par **Als128** » 23 Déc 2009, 08:47

legeniedesalpages a écrit:Pour chaque , tu montres que tout -voisinage est un -voisinage, et inversement.
Mais on peut se restreindre à parcourir des bases de voisinages en fait.

Ben314 a écrit:Pour Als128 : tu veut prouver que les deux topologies sont les mêmes et pour cela, tu montre que les voisinages d'un point (ici le point a) sont les même pour les deux topo.
La première 'phrase logique' montre qu'un voisinage V de a pour la topo faible contient un voisinage W de a pour la distance d ce qui prouve que V est un voisinage de a pour d.
La deuxième phrase logique montre l'inclusion inverse.

Si je vous sus bien, pour démontrer que 2 topologies sont les mêmes il faut et il suffit de démontrer qu'elles ont les memes voisinages ?
C'est toujours comme ça qu'on procède pour montrer qu'une topologie est faible ? On montre que les voisinages sont égaux à la topologie faible définie par le cours ?

(La definition de moncours dit que la topologie faible

est définie ainsi pour E evn et F sev de E',

)

Dans la seconde phrase logique, c'est parce que la distance est définie par la somme sur n qu'il faut démontrer l'implication avec tout les voisinages de a ?

Merci pour l'aide !

par **Ben314** » 23 Déc 2009, 12:56

Als128 a écrit:Si je vous suis bien, pour démontrer que 2 topologies sont les mêmes il faut et il suffit de démontrer qu'elles ont les memes voisinages ?

Oui pour "Il suffit de..." mais pas pour "Il faut..." : il y a des tas d'autres méthodes pour montrer que deux topologies sont les mêmes (avec les ouverts, ou les fermés, ou la continuité, ou les limites, ou... plus compliqué) cela dépend du contexte.

Als128 a écrit:(La definition de moncours dit que la topologie faible est définie ainsi pour E evn et F sev de E',
)

Partant de cette définition, il est assez façile de montrer que les voisinages d'un point a de E (pour cette topologie) sont les parties de E contenant un ensemble de la forme :

et

fixés.
Les voisinages de a pour la topo induite par la distance d sont quand à eux, les parties de E contenant une boule ouverte (pour la distance d) centrée en a.

par **legeniedesalpages** » 23 Déc 2009, 15:07

Pour compléter ce qu'a dit Ben314, la topologie *-faible

est la topologie faible

, où

est un sous-espace vectoriel de

, avec

(

étant défini comme dans le post #5).

Donc ici on considère des voisinages de la forme:

et

fixés.

par **Als128** » 24 Déc 2009, 08:54

C'est bon.. Merci !

Topologie faible

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si quelqu 'un peut m"aider ?

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