Nombres premiers spé TS

[zolodie]

bonjours j'aurais beoin d'aide :

p>3 et p est 1er
montrer que p²-1 est divisible par 24

Ce que j'ai fait :
p²-1 = (p+1)(p-1)
p est impair
donc (p+1) , (p-1) sont pairs
2 | (p-1) et 2 | (p+1)

je ne suis qu'en terminale et je ne connait pas les nombres de fermat, ni les nbres congru

[Flodelarab]

L'énoncé est faux.
Contre exemple: 4
4²-1=15 et c'est pas divisible par 24

[MathMoiCa]

Salut,

4²-1=15 et c'est pas divisible par 24

p doit être premier, ce qui n'est pas le cas de 4 (en réponse à quelqu'un qui a supprimé son post :id: )


M.

[MathMoiCa]

Pour l'exercice en lui-même :

Étudie les divisibilités de p avec 8 et 3. Et normalement, tu as déjà dû faire les congruences... m'enfin bon


Par 3:
Comme p est premier, p est de la forme 3k+1 ou 3k+2 (pas 3, sinon 3 divise p)
Donc si p est de la forme 3k+1, p-1=3k et p+1=3k+2 => p²-1 est multiple de 3.
Si p est de la forme 3k+2, p+1=3k+3 => p²-1 est multiple de 3.

Par 8:
Comme p est premier, p est de la forme 8k+(1,3,5 ou 7) (pas 2,4,6,8, sinon au moins 2 divise p)
Et tu recommences exactement le même principe. Il y a un peu plus d'étapes, mais c'est totalement abordable ;)


Et comme 3 et 8 sont premiers entre eux et que les deux divisent p²-1, 3x8 divise p²-1.


M.