Spé maths (nombres premiers)

[Trident]

Bonjour à tous :)

Comment à partir de 343=7^3, on peut démontrer que 118 et 225 sont premiers entre eux :id:

Merci de votre indication par avance.

[girdav]

Si divise et alors divise puis je te laisse conclure.

[Trident]

Merci de cette réponse rapide, j'avoue ne pas savoir conclure sur ce coup là. Je ne connaissais pas cette propriété si s'en est une.

Donc de manière général, si d divise a+b = c^n alors a et b sont premiers entre eux ?

Et on doit avoir c appartenant à P et n appartenant à P ?

Merci pour votre future indication

[girdav]

On a que divise et comme est premier les seuls diviseurs (positifs) de sont ,, et . Comme et ne divisent pas , on en conclut que divise , donc que le seul diviseur commun à et est .

[Trident]

J'ai pas bien compris en faite.

Que représente ici p ? La somme de 118 et de 225 ? C'est la somme de 118+225 (343) qui divise 7^3 (343) donc ?

[girdav]

J'ai pas bien compris en faite.

Que représente ici p ?

C'est une faute de frappe, je voulais dire .

[Trident]

Ok, récapitulons :

Si d divise 118 et 225 alors d divise 118+225 = 343 = 7^3

Ici, d représente tout nombre appartenant à N ?

Donc cela veut dire, "si un nombre divise 118 et 225 à la fois alors il divisera la somme 118+225 donc il divisera 7 au cube"

Voilà pour cette propriété. La réciproque est fausse n'est-ce pas ?

d divise 343 pour d=7² certes mais c'est pas pour autant que d divisera 118 et 225 (c'est là où je dis que la réciproque est fausse)

Le seul cas où ça marche c'est pour d= 1, donc les nombres sont premiers entre eux, c'est ça en faite non?

[nodjim]

Soit A=ka et B=kb avec k différent de 1.
A+B=ka+kb=k(a+b).
Comme, dans le problème présenté, A+B=p^n, k vaut au minimum p.
Donc A=pa et B=pb
Donc A et B tous deux divisibles par p.
En revanche, si A n'est pas divisible par p, et que A+B l'est, alors B n'est pas non plus divisible par p. Et si A est divisible par p, alors B l'est aussi puisque la somme l'est.
Un seul test à faire donc.

[Trident]

Soit A=ka et B=kb avec k différent de 1.
A+B=ka+kb=k(a+b).
Comme, dans le problème présenté, A+B=p^n, k vaut au minimum p.
Donc A=pa et B=pb
Donc A et B tous deux divisibles par p.
En revanche, si A n'est pas divisible par p, et que A+B l'est, alors B n'est pas non plus divisible par p. Et si A est divisible par p, alors B l'est aussi puisque la somme l'est.
Un seul test à faire donc.

D'accord merci, mais quand tu dis que k vaut au minimum p , et que A=pa et B=pb (ce qui veut dire que k=p tout le temps vrai) j'ai pas bien compris
Peut être avec un exemple je comprendrais mieux.

[Trident]

Une réponse SVP?

[nodjim]

Quand j'ai écrit A=pa il y a une petite inexactitude car j'avais écrit auparavant A=ka. J'aurais dû écrire A=pa' pour signifier que p divise A, "a" et "à" ne sont pas forcément identiques.