Analyse complexe

[Elvis]

Bonjour à tous,

J'aurais besoin de vos lumières pour un exercice d'analyse complexe.
"Soient f une fonction analytique sur un ouvert U et z(0) un point de U tel que f(z(0)) différent de 0. Montrer que pour tout entier m >= 1 il existe un voisinage ouvert V de z(0) et une fonction analytique g sur V tels qu'on ait sur V, f(z) = g(z)^m.

Pour l'instant, j'ai dit que :

f(z) ^(1/m) = g(z)
=> g(z) = exp((1/m).log(f(z))
Et après j'ai écrit que log (f(z)) = ln|f(z)| + i Arg(f(z))

Mais je sens que je patauge un peu.
Si vous pouviez m'éclairer en me donnant des pistes...
Merci d'avance.

[ffpower]

définit plutot log f comme une primitive de f'/f

[Elvis]

Mais en utilisant une intégrale, je ne m'éloigne pas de la réponse ?

[yos]

Bonjour.
Comme , f ne s'annule pas dans un certain voisinage V de (continuité de f). Il existe une détermination du logarithme dans un ouvert contenant V (les déterminations du logarithmes sont définies sur C privé d'une demi-droite d'origine O). Tu peux utiliser cette détermination pour définir g.