Les projecteurs

[coconut]

bonjour,
notre professeur de mathématiques nous a donné des exercices a travailler pour notre prochain ds qui tombe juste après les vacances et je bloque sur l'un d'entre eux. Alors si quelqu'un peut me venir en aide...
soit E un espace vectoriel de dimension finie n, et F et G deux espaces vectoriels supplémentaires de E. Tout vecteur x de E se déconpose alors de manière unique en x=xf + xg ou xf appartient à F et xg appartient à G. On définit le projecteur sur F parallèlement à G par: p:E-->F
x-->xf
je devais d'abord montrer que p était une application linéaire donc ça j'ai réussi mais après on me demande de montrer que Imp=F,kerp=G et ker(p-Id)=F
je ne sais pas trop comment m'y prendre
merci d'avance pour nos réponses
(et si quelqu'un pouvait me suggérer un livre d'exo mathématiques en BCPST ce serait sympa)

[coconut]

enfait il me manque plus que ker p =G
je fais soit x appartient à ker p p(x)=p(xf+xg)=0=xf dc x appartient à G donc ker p est inclue dans G
mais l'autre sens je bloque on fait soit x appartient à G alors p(x)=p(xg+0)=xg mais je vois pas comment conclure...

[kazeriahm]

salut si x est dans G alors x_f=0

[coconut]

merci j'ai une autre question qui me pose problème:
soit p un endomorphisme de E vérifiant p°p=p on note F=imp et G=ker p
montrer que FinterG=0 et en déduire que E=F+G (+entouré donc F ET G supplémentaires) là je pense qu'il faut utiliser le théorème du rang...
pour l'instant j'ai fait soit x apparatient à ker p inter im p
p(x)=0 et il existe y tel que p(y)=x
on a alors 0=p(x)=p(au carré)(y)=p(y)=x

[Nightmare]

L'aide que je t'ai apportée sur l'autre forum n'est pas suffisante? En tout cas elle l'est assez pour te l'approprier ...

pour l'instant j'ai fait

:triste:

[The Void]

merci j'ai une autre question qui me pose problème:
soit p un endomorphisme de E vérifiant p°p=p on note F=imp et G=ker p
montrer que FinterG=0 et en déduire que E=F+G (+entouré donc F ET G supplémentaires) là je pense qu'il faut utiliser le théorème du rang...
pour l'instant j'ai fait soit x apparatient à ker p inter im p
p(x)=0 et il existe y tel que p(y)=x
on a alors 0=p(x)=p(au carré)(y)=p(y)=x

Tu viens de prouver que F n G C {0}, il reste plus qu'à démontrer l'inclusion inverse (plus facile) en te servant du fait que les noyaux et images de fonctions linéaires sont des SEV.

en déduire que E=F+G (+entouré donc F ET G supplémentaires) là je pense qu'il faut utiliser le théorème du rang...

Effectivement avec le théorème du rang, c'est très facile, en sachant qu'un SEV E' de E est égal à E ssi dim(E')=dim(E).
Sans se servir de ce théorème, tu peux essayer de décomposer u € E en un vecteur appartenant à F et l'autre appartenant à G.
Pour cela, sert toi du fait que p°p(u) = p(u) donc p°(p(u)-u) = 0 donc p(u) - u € ...