Projecteurs

[benekire2]

Bonjour,

J'ai un petit problème avec les projecteurs :

1. Soit une famille de projecteurs. Montrer que est un projecteur si et seulement si
2. Soit tel que Soit E un sous espace vectoriel de stable par u. p un projecteur d'image E. On pose montrer que q est un projecteur et que et que

Alors pour la 1 [sens réciproque facile] j'ai traité le cas particulier n=2 et je suis arrivé au résultat, mais j'ai l'impression, par exemple pour n=3 au la méthode ne se généralise pas. Pour info j'ai fais ainsi : (p+q)²=p²+pq+qp+q²=p+q+qp+pq ie pq=-qp et en composant par p et q on montre que pq=qp.
Pour la 2 , je n'y ai pas réfléchis très très longtemps, mais montrer que q est un projecteur c'est pas super dur, c'est la somme directe ensuite, mais je vous tiendrais au courrant pour celle ci ..


Merci de votre aide !!

PS. Le produit désigne la composition.

[Nightmare]

Salut,

pour le premier : montre que Im(p) est somme directe des Im(pi). tu pourras aussi utiliser le fait que l'image d'un projecteur est aussi l'ensemble de ses points fixes.

[benekire2]

Salut Nightmare !

Désolé de ne pas avoir pu répondre avant.

Donc, je dois montrer que l'application qui a associe est injective i.e que son noyau est réduit a 0, or j'y arrive pas en l'occurrence . . . même avec le fait que l'image d'un projecteur est l'ensemble de ses points fixes.

Peut tu m'aider stp ?

[benekire2]

Salut Nightmare !

Désolé de ne pas avoir pu répondre avant.

Donc, je dois montrer que l'application qui a (x_1,...,x_n) \in Im(p_1) \times ... \times Im(p_n) associe x_1+...+x_n est injective i.e que son noyau est réduit a 0, or j'y arrive pas en l'occurrence . . . même avec le fait que l'image d'un projecteur est l'ensemble de ses points fixes.

Peut tu m'aider stp ?

[Nightmare]

Im(p) est clairement inclus dans la somme des Im(pi). Pour montrer l'égalité on peut passer à la dimension :

rg(p)=dim(somme des Im(pi)). On a envie de développer linéairement et écrire que ça vaut somme des rg(pi), pour ça on peut par exemple constater que dans le cas d'un projecteur, son rang n'est autre que sa ... trace ! Et évidemment la trace est linéaire, donc on a ce qu'on veut. Et puisque dim(somme des Im(pi))=somme des rg(pi) la somme est directe.

Ensuite, tu as donc Im(pi) inclus dans Im(p) pour tout i, et comme l'image d'un projecteur est l'ensemble de ses points fixes, on a en particulier pour tout x et i p(pi(x))=pi(x).

Essaye de conclure avec ça.

[benekire2]

D'accord, merci , je n'avais pas pensé à la trace des projecteurs ( je ne conaissais pas cette caractérisation , assez simple soit-elle ... ) ; ça permet de finir.

Bon, je m'attaque au deuxième exo.

[Nightmare]

En fait je t'ai un peu arnaqué, ce n'est pas complètement trivial que la trace d'un projecteur est aussi son rang, vois-tu pourquoi c'est vrai?

[benekire2]

Non non c'est pas une arnaque , à la base je le croyais mais en fait , c'est très simple d'avoir la tête d'une matrice de projection. Comme tu le fais remarquer , une projection est nulle quand on la réduit a son noyau et l'identité quand on la réduit à son image , à partir de là la matrice d'un projecteur en dimension n (dans une certaine base ) c'est des 0 de partout sauf une partie de la diagonale qui contiendra p=dim(Im p ) 1. Donc dit comme ça la trace est effectivement la dimension de l'image d'un projecteur.

Je n'avais pas du tout vu ce côté là derrière l'exo initialement.

[Nightmare]

Non non c'est pas une arnaque , à la base je le croyais mais en fait , c'est très simple d'avoir la tête d'une matrice de projection. Comme tu le fais remarquer , une projection est nulle quand on la réduit a son noyau et l'identité quand on la réduit à son image , à partir de là la matrice d'un projecteur en dimension n (dans une certaine base ) c'est des 0 de partout sauf une partie de la diagonale qui contiendra p=dim(Im p ) 1. Donc dit comme ça la trace est effectivement la dimension de l'image d'un projecteur.

Je n'avais pas du tout vu ce côté là derrière l'exo initialement.

Je n'ai pas du tout compris ton histoire de réduction... Parlais-tu de restriction? Dans ce cas, c'est l'idée mais il manque quelque chose d'important : Si tu fais ça, tu décides de te placer dans une base formée d'une base de ker(p) jointe d'une base de Im(p), ok, mais si on prend une autre base?

[benekire2]

Je n'ai pas du tout compris ton histoire de réduction... Parlais-tu de restriction? Dans ce cas, c'est l'idée mais il manque quelque chose d'important : Si tu fais ça, tu décides de te placer dans une base formée d'une base de ker(p) jointe d'une base de Im(p), ok, mais si on prend une autre base?

oui pardon c'est restriction pas réduction :we: Pour l'histoire de la base, la trace est une notion intrinsèque puisque (*) tr(AB)=tr(BA) [développement barbare] et donc soit P la matrice de passage d'une base à l'autre , soit B la "nouvelle" matrice dans la nouvelle base et A la matrice dans la base "ancienne" : tr(B)=tr(P^-1AP)=tr(A) d'après (*).

[Nightmare]

Exactement, la trace est invariante par changement de base, c'est le point essentiel de la caractérisation.

(Par contre, dire que la trace est une notion intrinsèque, ça veut pas dire grand chose )

:happy3:

[benekire2]

Oui effectivement , j'étais persuadé que l'on disait "intrinsèque" pour dire que ça ne dépendait pas de quelque chose " ok , c'est très flou ... " bref , un mot a rayer du vocabulaire ..

Pour le deuxième exo il me reste a montrer la somme directe. Comment tu t'y prendrais ? Utiliser a dimension me parait difficile.

[Nightmare]

Montrer que l'intersection est réduite à {0} me semble bien marcher.

[benekire2]

Montrer que l'intersection est réduite à {0} me semble bien marcher.

Oui , j'aimerais bien , ce serait la moitié du travail de fait, mais ça me paraissait trop ardu , ici la somme m'embête. On a et donc il suffirait de montrer que chaque élément de Ker p = Ker q mais là encore la somme m'en empèche ... bon, j'ai pas trop utilisé le fait que q est un projecteur et évidemment ça doit jouer , mais pour l'instant c'est un peu flou

[benekire2]

Non vraiment je vois pas, comment fais tu nightmare ?

Merci.

[Nightmare]

Désolé j'ai pas vu que le topic était upé ! tu sais que pour un projecteur, son noyau et son image son toujours en somme directe donc a priori il suffit de montrer que l'image de q est E.

[benekire2]

hum, moi j'étais partit sur le même argument avec les noyaux, et là avec l'image ça va bien plus vite puisque j'avais oublié l'hypothèse crutiale : E est stable par u :we:

Merci :lol3:

Je crois que le jeu de demain( ou de ce soir ) va être de trouver tout les endomorphismes tels que :
f²=Id et puis pareil avec f²=-Id (dim finie)

Pour la première je pense fort a (f+Id)/2 avec f projecteur. Et pour la deuxième j'ai la dimension paire pour l'instant ...

PS. Tu as le droit de ne pas répondre aussi, je voudrais pas te monopoliser !! :zen:

[Nightmare]

Oula on passe du coq à l'âne, à vrai dire l'idée que j'ai émise pour ton premier énoncé était juste la première chose qui me passait par la tête, je suis pas sûr qu'elle permette de conclure directement ! Enfin c'est ton exo, tu te démerdes :D

[benekire2]

Ouais en allant me coucher et en me refaisant l'exo dans ma tête je me suis dit que j'étais allé un peu vite en besogne. J'ai simplement montrer que Im q est inclus dans E. Il me faudrait donc un argument de dimension pour conclure. Or a priori on peut pas trop le faire "comme ça" mais si tu me dit ça c'est que tu en as un dans la tête. Faudrait montrer que dim E=n- dim ker q or dime E = rg p = n-dim ker p donc en gros faut montrer que dim ker p= dime ker q et j'ai un peu l'impression qu'on tourne autour du pot !

Peux-tu me dire comment faire sur cette "voie" stp ?

[benekire2]

Ouais en allant me coucher et en me refaisant l'exo dans ma tête je me suis dit que j'étais allé un peu vite en besogne. J'ai simplement montrer que Im q est inclus dans E. Il me faudrait donc un argument de dimension pour conclure. Or a priori on peut pas trop le faire "comme ça" mais si tu me dit ça c'est que tu en as un dans la tête. Faudrait montrer que dim E=n- dim ker q or dime E = rg p = n-dim ker p donc en gros faut montrer que dim ker p= dime ker q et j'ai un peu l'impression qu'on tourne autour du pot !

Peux-tu me dire comment faire sur cette "voie" stp ?