DM sur les applications linéaires (projecteurs noyaux...)

[Nath0u]

Bonjour tout le monde, j'ai un DM de maths à faire, et beaucoup de questions me posent problème.
Tout d'abord dans le premier exercice, je bloque à la question suivante:
On a f(P)= (X²-1)P" + (2X+1)P' où P' et P" désgnent les polynomes dérivés d'ordre 1 et 2 du polynome P.
On me demande dee déterminer le noyau de f. Et si f est injectif? Surjectif?
J'ai beau cherché, je ne trouve pas car je n'ai jamais eu à fire à ce genre de cs.

Ensuite, dans l'exercice 2, on me dit qe p et q sont deux projecteurs de E tels que p o q= 0
La première question (celle qui me bloque) est:
Montrer que p+q - p o q est un projecteur.
Ce que j'ai fait, c'est que j'ai calculé (p+q - p o q)² en utilisant d'abord l'identité remarquable avec a= p+q et b=p o q
et dans un deuxieme temps, en développant (p+q)².
Bref, j'arrive au final (en utilisant plein d'arrangements) à:
(p+q - p o q)² = p = q - qop + (qop)².
Il est évident que le (qop) est de trop. Mais je sais vraiment pas comment m'en sortir.
Merci d'avance pour votre aide.

[XENSECP]

Le noyau ?

Q est dans Ker(f) <=> f(Q) = 0 ;) Après tu finis :P
Je dirais que c'est pas injectif à vue d'oeil ;)

[Nightmare]

Salut :happy3:

Tu es sûr de ton énoncé pour le 2 ? p+q-poq = p+q puisque poq est identiquement nul d'après l'énoncé !