Petite question sur les projecteurs

[Maffyeux]

on définit une relation (que j'ai démontré d'ordre) sur l'ensemble des projecteurs (non nuls) telle que :
p#q <==> p=poq=qop
Est-ce une relation d'ordre totale ? Il me semble que non mais il faut alors exhiber 2 projecteurs qui ne vérifient pas cette relation ... je ne trouve pas. Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

[euler21]

Bonjour
Pourquoi ne pas considérer deux projecteurs "associés"? si E=F+G, considère le p le projecteur sur F parallèlement à G et q le contraire.

[Maffyeux]

(Bonjour)
J'arrive ainsi à : pour tout x de E, poq(x) = p(q(x)) où q(x) appartient à F
qop(x) = q(p(x)) où p(x) appartient à F
Je ne vois pas la contradiction avec p=poq ou bien avec poq=qop

[Maffyeux]

Ah poq et qop sont deux applications n'ayant pas même ensemble d'arrivée c bien ça ?

[euler21]

plutôt p et q qu'on a considérés sont deux applications linéaires telles que l'image de l'une est dans le noyau de l'autre. et donc poq=qop=...
Je te laisse déduire :we:

[Maffyeux]

C'est limpide, merci.

[euler21]

Juste une dernière remarque : ceci est bien sûr un contre exemple car tu as considéré ta relation d'ordre sur l'ensemble des projecteurs non nuls. donc il ne peut y avoir d'égalité .