Projecteurs et symétries

[nours]

Bonjour à tous
J'ai besoin d'aide pour des démo: on démontre comment que "un endomorphisme p de E est un projecteur si et seulement si p°p=p" et que "un endomorphisme s de E est une symétrie si et seulement si s°s=Id"?
Merci davance

[Alpha]

Salut, nours,

Si p est un projecteur sur un sous-esapce vectoriel F, alors p(x) appartient à F, donc p(p(x)) = p(x).

Réciproquement, si pop=p, alors il faut que tu montres que , et que tout x de E s'écrit comme somme d'un élément de Im p et de Ker p, tu auras ainsi montré que Im p et Ker p sont supplémentaires dans E, donc que p est un projecteur sur Im p. Je te laisse poursuivre... Avec un peu d'efforts, tu devrais y arriver. Ca ne prend que quelques lignes.

Sinon, tu peux toujours demander à nouveau, je te répondrai.

C'est assez simple pour une symétrie, il suffit d'utiliser la définition d'une symétrie.

[Anonyme]

bonsoir

il suffit de partir des définitions.
...
c'est tt simple!

[Anonyme]

Si p²=p, alors pour x dans E, on peut écrire: x=x1+x2 avec x1=x-p(x) et x2=p(x).
Alors p(x1)=p(x)-p²(x)=0E donc x1 est dans Ker(p), et x2 est dans Im(p).
Donc E=Ker(p)+Im(p), il est facile de vérifier que cette somme est directe.

Si s²=IdE, alors pour x dans E, on peut écrire: x=x1+x2 avec x1=(x+s(x))/2 et x2=(x-s(x))/2.
Alors s(x1)=(s(x)+x)/2=x1 donc x1 est dans Inv(s) et s(x2)=s(x)-x)/2=-x2, donc x2 est dans Opp(s). Donc E=Inv(s)+Opp(s), il est facile de vérifier que cette somme est directe.

[nours]

Merci à tous, j'ai fait les démo sans trop de problème, sauf un petit:

Si p est un projecteur sur un sous-espace vectoriel F, alors p(x) appartient à F, donc p(p(x)) = p(x).

Je ne comprends pas bien pourquoi on a cela: en effet, si p est un projecteur sur en sev F, alors p(x)=x1 et je ne vois pas coment on montre que x1=x ?

[Alpha]

Tu n'as pas compris mon raisonnement, le voici détaillé :

Si p est un projecteur sur un sev F, alors par définition d'un projecteur, on a p(x) appartient à F. Alors par définition, encore, d'un projecteur, comme p(x) est élément de F, alors p( p(x)) = p(x), puisque p(x) = p(x) + 0 avec p(x) dans F et 0 dans son supplémentaire.

Tu vois, c'est on ne peut plus simple.

;)

[nours]

d'accord j'ai compris
merci beaucoup pour ton aide