Devoir supllémentaire

[biker60]

Bonjour a tous,
je suis en Terminal S et pendant ces vacances j'ai décidé de prendre un peu d'avance en fesant cette exercice:

On peut démontrer que la suite (Sn) définie, pour tout entier n supérieur ou egal à 1, par Sn=1+1/2+...+1/n n'est pas majorée et tend vers +infini.
Onconcidère la suite définie, pour tout entier n superieur ou egal à 1 par:
Un=Sn-ln(n)
1)Déduire le sens de variation de la suite Un sachant que Un+1 - Un =(1/n+1) + ln(1-(1/n+1))
2)Demontrer que pour tout entier n superieur ou egal à 1 on est Vn+1-Vn=1/n-ln(1+(1/n)) Quel est le sens de variation de Vn
3)Demontrer que (Un) et (Vn) sont adjacentes.Limite commune de ces deux suites est appellée la constante d'Euler
5)Determiner, à l'aide des suites (Un) et (Vn), un encadrement de la constante d'Euler d'amplitude 10^-1

Le problème est que je n'arrive a rien du tout, et même la 1ere question me bloque. Vous comprenez mieux pourquoi je décide de ratrapper un peu mon retard au niveau des suites :briques:
Merci d'avance pour votre aide.

[Huppasacee]

Certaines fois, pour démontrer des inégalités pour les suites , il peut être utile de passer par les fonctions

Pour Un+1 - Un , pose 1/(n+1) = a ( a > 0 )

on a donc à étudier le signe de

a + ln ( 1-a )
En étudiant le sens de variation de cette fonction , on peut connaître son signe

[biker60]

Juste pour une précision,
quand on a Sn = 1 + 1/2 + ... + 1/n
S1 vaut 1 ou 1 + 1/2 + 1/1 ?
Et S2 vaut 1 + 1/2 ou 1 + 1/2 + 1/2?

[nuage]

Salut,
S1=1
S2=1+1/2
S3=1+1/2+1/3
etc...

[biker60]

Encore une petite question
je sais que n>0
et je veux (n+1)²/2n² > 1/2

Je resout donc:
n>0
n+1>1
(n+1)²>1
(n+1)²/2 > 1/2

et là comment puis-je rajouté mon n² au dénominateur svp?

[nuage]

Tu peux diviser les deux côtés de l'inégalité par n² parce que c'est un nombre strictement positif.

[biker60]

Ouais mais si je divise de chaque coté par n² je ne pourrais pas retrouver mon 1/2 directement.
Et la recurrence ne sert a rien, du moins d'après mes résultats...

[nuage]

Ouais mais si je divise de chaque coté par n² je ne pourrais pas retrouver mon 1/2 directement.
Et la recurrence ne sert a rien, du moins d'après mes résultats...

C'est vrai.
pour démonter ce que tu veux on peux partir de
(n+1)>n donc (n+1)²>n² car n+1 et n sont positifs puis (n+1)²/n²>1 etc...