Devoir sur les suites

[ascott]

Bonjour

j'ai un dm à faire pour le 13 septembre et je bloque

voici l'énoncé
On définit la suite Un pour tout entier naturel par U0=1 et Un+1=1/3Un+n-2

1) calculer U1,U2,U3
je trouve U1=-5/3; U2=-14/9; U3=-14/27

2) on définit la suite Vn=Un-3/2n+21/4
Montrer que la suite Vn est géométrique et préciser la raison et le premier terme
3) Exprimer Vn puis Un en fonction de n
4) Ecrire un algorithme qui permet de déterminer le plus petit entier n tel que Un>1000
5) on définit la somme Sn=(symbole somme) k=0 uk
exprimer alors Sn en fonction de n

pour la question 2 je pense avoir trouver la raison ce que j'ai fait
Vn+1/Vn=(1/3Un+n-2-3/2(n+1)+21/4)/Un-3/2n+21/4
Un;21/4 et 3/2n s'annule il me reste 1/3
par contre je n'arrive pas à trouver le premier terme

pour la question 3 je ne comprends pas
pour les questions 4 et 5 je ne les ai pas étudié l'année dernière

merci pour votre aide

[Ericovitchi]

Pour trouver le premier terme fait n=0 dans Vn=Un-3/2n+21/4, ça te donnera V0

Si tu as montré que Vn était géométrique de raison q alors tu peux écrire que

[Titahn]

Bonjour

j'ai un dm à faire pour le 13 septembre et je bloque

voici l'énoncé
On définit la suite Un pour tout entier naturel par U0=1 et Un+1=1/3Un+n-2

1) calculer U1,U2,U3
je trouve U1=-5/3; U2=-14/9; U3=-14/27

2) on définit la suite Vn=Un-3/2n+21/4
Montrer que la suite Vn est géométrique et préciser la raison et le premier terme
3) Exprimer Vn puis Un en fonction de n
4) Ecrire un algorithme qui permet de déterminer le plus petit entier n tel que Un>1000
5) on définit la somme Sn=(symbole somme) k=0 uk
exprimer alors Sn en fonction de n

pour la question 2 je pense avoir trouver la raison ce que j'ai fait
Vn+1/Vn=(1/3Un+n-2-3/2(n+1)+21/4)/Un-3/2n+21/4
Un;21/4 et 3/2n s'annule il me reste 1/3
par contre je n'arrive pas à trouver le premier terme

pour la question 3 je ne comprends pas
pour les questions 4 et 5 je ne les ai pas étudié l'année dernière

merci pour votre aide

Salut,

La première question est juste.

Je n'ai pas vérifié tes calculs pour la raison de Vn (mais si tu trouves 1/3 c'est plutôt bon signe, vu que c'est assez simple).

Pour V0, tu as défini Vn en fonction de Un, donc tu as V0 en fonction de U0, et comme tu sais que U0 = 1, V0 est tout simple à calculer =).

Pour la troisième, on te demande d'exprimer Vn en fonction de n, donc pas en fonction d'autres suites.

Ici, comme tu sais que c'est une suite géométrique de raison 1/3, et que tu connais son premier terme, tu sais (sisi ^^) que la forme générale d'une suite géométrique est Vn=(Premier terme)*(Raison)^n.

Une fois que tu connais Vn, commme tu peux écrire Vn en fonction de Un, tu peux en déduire une écriture de Un en fonction de n.

Pour la question 4 à vue de nez je procèderais par dichotomisation (oh le joli mot), Tu prends un nombre n au pif, tu regarde combien vaut Un. Et ce jusqu'à ce que tu trouves un Un supérieur à 1000, et un inférieur à 1000.

Si par exemple tu as U10=500 et U20=2000, tu vas prendre un "n" entre 10 et 20 et tester :
U15=1500. Donc tu sais que le "n" que tu cherches est entre 10 et 15. Et tu continues comme ça :
U13=1020
U11=880
U12=940

Comme U13>1000 et U12>1000, tu sais que le "n" que tu cherches est 12.

Pour la question 5 on en reparlera quand tu auras trouvé Un en fonction de n

[Ericovitchi]

heu pour la question "4) Ecrire un algorithme qui permet de déterminer le plus petit entier n tel que Un>1000" moi je suivrais plutôt la logique :
n=0
U=1
TantQue U<1000
U prend la valeur U/3+n-2
n prend la valeur n+1
Fin TantQue
Afficher n

[Titahn]

heu pour la question "4) Ecrire un algorithme qui permet de déterminer le plus petit entier n tel que Un>1000" moi je suivrais plutôt la logique :
n=0
U=1
TantQue U<1000
U prend la valeur U/3+n-2
n prend la valeur n+1
Fin TantQue
Afficher n

Ça marche aussi, mais dans le mien :
1°)Ya moins d'étapes de calcul
2°)Il est plus simple et plus fun à faire à la main =D. Ya le petit côté surprise de savoir si le nouveau "n" qu'on prendra sera en dessous ou au dessus de 1000 à chaque fois :p

[Ericovitchi]

Si tu veux, mais reste à le coder concrètement, et ça, ça risque d'être moins évident.

[ampholyte]

Si tu veux, mais reste à le coder concrètement, et ça, ça risque d'être moins évident.

Bonjour,

Je rejoins l'avis de Ericovitchi, avant de se lancer dans des algorithmes dichotomiques, il faudrait déjà qu'il maîtrise les bases des algorithmes.

Par ailleurs en examen, s'il n'avait pas réussi à résoudre la question 4) il aurait été bloqué pour faire la dichotomie alors qu'avec la méthode de Ericovitchi il est tout de même possible de répondre à la question.

Oui la dichotomie sera plus rapide qu'une boucle (et encore tu ne connais pas la borne max vu qu'il faut la deviner). En revanche niveau code, la boucle sera beaucoup plus simple à implémenter et évitera certaines erreurs que les débutants font lors d'une dichotomie.

[Titahn]

Bonjour,

Je rejoins l'avis de Ericovitchi, avant de se lancer dans des algorithmes dichotomiques, il faudrait déjà qu'il maîtrise les bases des algorithmes.

Par ailleurs en examen, s'il n'avait pas réussi à résoudre la question 4) il aurait été bloqué pour faire la dichotomie alors qu'avec la méthode de Ericovitchi il est tout de même possible de répondre à la question.

Oui la dichotomie sera plus rapide qu'une boucle (et encore tu ne connais pas la borne max vu qu'il faut la deviner). En revanche niveau code, la boucle sera beaucoup plus simple à implémenter et évitera certaines erreurs que les débutants font lors d'une dichotomie.

Je ne suis pas totalement d'accord. A coder certes, c'est plus simple, mais je doute que ce soit le cas ici. Et à visualiser les deux sont assez simples (le mien un peu moins certes, mais globalement la seul difficulté de la méthode dichotomique, c'est d'écrire "dichtomique" ^^).

Mais du coup comme ça ascott a un aperçu de 2 algos, ça ne peut pas lui faire de mal ! :p

[ampholyte]

Je ne suis pas totalement d'accord. A coder certes, c'est plus simple, mais je doute que ce soit le cas ici. Et à visualiser les deux sont assez simples (le mien un peu moins certes, mais globalement la seul difficulté de la méthode dichotomique, c'est d'écrire "dichtomique" ^^).

Mais du coup comme ça ascott a un aperçu de 2 algos, ça ne peut pas lui faire de mal ! :p

Je voulais dire "rapide" plutôt que "simple". La méthode par dichotomie est assez difficile à implémenter lorsque tu es débutant et que tu ne l'as jamais vu

[Titahn]

Je voulais dire "rapide" plutôt que "simple". La méthode par dichotomie est assez difficile à implémenter lorsque tu es débutant et que tu ne l'as jamais vu

S'il doit le coder, certes, votre méthode est plus simple à visualiser, et sensiblement plus facile à coder, du coup probablement plus adaptée.

Mais si il doit juste donner le processus logique qui aboutit à l'obtention d'un résultat, alors pas besoin du codage, et les deux méthodes sont assez aisées à concevoir, et se valent à mon sens, du coup autant en profiter pour choisir celle avec laquelle il a le plus d'affinité ^^

[ascott]

merci pour toutes les réponses du 3)

je viens d'exprimer Un en fonction de n
ce que j'ai trouvé Un= (25/12)^n+(3/2)n+21/4

car j'ai trouvé pour Vn=25/12^n

pouvez vous me dire si c'est correct?

[Ericovitchi]

Normalement si et alors