PartieA: Soit u la fonction définie sur l'intervalle ]0,e] par: u(x) = x²-2+2lnx.
on admet l'existence d'un nombre unique a, appartenant à l'intervalle ]0,e], tel que u(a) = 0.
On donne le tableau suivant, résumant les variations de u sur l'intervalle ]0,e];
x__________0________ a _____e
u(x)_______||-(infini)-->0---->e² (les flèches montes toutes)
1) Montrer que 1.24
PartieB:
1) Calculer la limite de f en 0. on pourra remarquer que, pour tout x de ]0,e], (ln x)/x = (1/x)* ln x.
2)a) Soit f' la derivée f sur l'intervalle ]0,e]. Monter que, u étant la fonction définie dans la partieA pour tout x de ]0,e], f'(x) = u(x)/2x².
b)justifier que f est decroissant sur l'intervalle ]0,a] et croissante sur l'intervalle ]a,e].
Dresser le tableau de variation de f.
c)En utilisant le fait que 0.45 est une valeur approchée de f(a) à 0.01 près, justifier que f(x) est strictement positif pour tout x de l'intervalle ]0,e].
3) Soit D la droite d'equation y= x/2.
a) Determiner les coordonnées du point A d'intersection de C et de D.
b)Monter que la tangente T à la courbe C en son point d'abscisse e est parallèle à la droite D.
4)a)soit v la fonction définie sur ]0,e] par v(x) = 1/2*(ln x)²
calculer v'(x), v' désignant la dérivée de v.
b)En deduire une primitive de f sur l'intervalle v la fonction définie sur ]0,e] .
en vous remerciant d'avance merci