Logarithme népérien

[missy33]

Bonjour a tous, je commencerai tout d'abord par souhaiter une bonne année a tous! Mes meilleurs voeux!

Voila un exercice où j'ai vraiment des difficultés alors si vous pouviez m'aider se serait vraiment gentil.

Une entreprise fabrique un produit, en quantité x, exprimée en milliers de tonnes.

Le cout total de fabrication est donnée pour x appartient [0;5] par :
Ct(x)= x²/4 +9/2 ln (x+1)
Les couts sont exprimés en centaines de milliers d'euros.

A) Etude d'une fonction auxiliaire

On considère la fonction f définie sur [0;5] par :
f(x)= x²/2 + 9x/x+1 - 9 ln (x+1)

1) Calculer f'(x)
Vérifier que l'on peut écrire :
f'(x)= x (x-2) (x+4) / (x+1)²

2) Ecrire le tableau de variations de f sur [0;5]

3) En déduire que f s'annule sur ]0;5] pour une valeur unique a.

4) Déterminer un encadrement a 10-3 près de a

5) Déduire les résultats précédents le signe f sur [0;5]


B) Etude d'un cout moyen Cm

La fonction cout moyen Cm est définie sur ]0;5] par:
Cm(x)= Ct(x)/x= x/4 + 9/2 ln(x+1)/x

1) Calculer Cm'(x)
Vérifier que l'on peut écrire Cm'(x)= f(x)/2x²

2) Etudier le sens de variation de Cm sur ]0;5]

3) Pour quelle production l'entreprise a-t-elle un cout moyen minimal exprimé en euros par tonne ? Quel est ce cout ?

Voila en espérant avoir de votre aide! Merci

[Jess19]

:hein: tu as quand même bien du essayer de faire quelque chose non? :hum:

[missy33]

ui j'ai fait les trois premières question mais bon ca m'a pas l'air sa

[farator]

Salut.
Poste au moins tes résultats pour qu'on te dise si ce que tu as fait est bon ou non, et qu'on puisse repérer les erreurs.

[missy33]

Calcul de f’(x).
f(x)=x²/2+9x/x+1 -9ln(x+1)
Nous dérivons : (x+1)9 - 9x
f’ = 2x/2 - 9/(x+1)
(x+1)^2

On obtient : f’ = x + 9/(x+1)² - 9/(x+1)

f’ = x ( 1/x+1 - 1) = x - x+1 (x+1)²

f’ = x(x² + 2x - 8)/(x+1)² :

trinôme du 2nd degré qui admet comme racines : 2 et -4.

On a donc :
f’ = x(x-2)(x+4)/(x+1)²

Tableau de variation : x 0 2 5
-----------------------------------
x 0 + +
-----------------------------------
x-2 - 0 +
-----------------------------------
f’ 0 - 0 +
------------------------------------

f décroit de 0 à -1,89 puis croit jusqu’à 3,87 quand x atteint 5.

[farator]

Ouais impeccable
Par contre fais attention, il faut laisser les valeurs exactes : pas de 3.87 par exemple, ce n'est pas la valeur exacte lorsque x=5.

[missy33]

ah bon? je dois arrondir ? c'est 4 ?

Merci pour votre aide sincèrement!

[farator]

La valeur exacte de f(5) c'est :

Tu peux réduire tout ça.

[missy33]

:doh: :hum:

olala je crois ke je vais abandonner cet exercice de maths...
Desespérant...
a peine trois questions de traitées et encore elles le sont pas intégralement... :cry:

[farator]

courage
Il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour la question 3

[missy33]

oui...

pour tous réels a et b de I,, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.

euh... enfaite NON...

Aaaah je sais... :id:

vous pouvez pas me donner un peu de votre réussite en maths pour que je puisse faire mon devoir ?

[farator]

valeurs intermédiaires
Tu peux rajouter "si la fonction est monotone sur [a;b]", ce qui fait que la fonction ne s'annulera qu'une fois sur cet intervalle.

[missy33]

bon meme si sa m'avance pas beaucoup merci quand meme c'est déjà sa...

[farator]

Ca t'avance plutôt pas mal vu que c'est pratiquement la réponse à la question 3 mais bon ... ^^

[missy33]

oui pour la question 3... mais le reste... :s bref se n'est pas grave merci beaucoup tout de meme pour votre aide

[farator]

Pour la question 4, tu as juste à utliser ta calculatrice.