Suites arithmétiques et géométriques

[cecilia]

Bonsoir!!!

Voila ce qui m'amène, j'ai un exercice, on me dit:
a et b 2 réels tel que 0<a<b
U(n) et V(n) définies par U(0)=a et V(0)=b et pr tt entier n :
U(n+1)=Racine de (Un)(Vn) et V(n+1)=(Un + Vn)/2

Je dois démontrer qe pr tt n,
V(n+1) - U(n+1) est inférieur ou égal à (1/2)(Vn-Un)
Or je suis bloquée :briques: et de ce fait je ne trouve pas la réponse a la question suivante ou on doit déduire que:
Vn - Un est inférieur ou égal à 1/2^n (b-a)

Merci de m'aider :id:

[jawad]

bonsoir,

il faut démontrer que V(n) et U(n) > 0

ensuite remarquer que Un + Vn - 2racine(Un*Vn) = ((rcVn) - (rcUn))²
et que Vn - Un = (rcVn - rcUn)*(rcVn + rcUn)


au brouillon :
"tu part de la fin" : Vn+1 - Un+1 < 1/2(Vn - Un)
tu développe en utilisant les 2 identités remarquables que j'ai cité
"pour arriver au début" 2rcUn > 0 tjs vrai

et tu fait le résonnement inverse sur ta copie en partant du début à la fin pour CQFD

pour la suivante tu peut utiliser la démonstration par récurence en utilisant cette dernière inégalité

désolé de ne pas donner le détail des calculs
j'espère que tu arriveras ou si qlq a plus de temps de détailler

merci

[Chimerade]

Voilà !