Fonction ouverte

par **djougang2001** » 05 Déc 2007, 14:20

toute fonction ouverte de R vers R est monotone

par **ThSQ** » 05 Déc 2007, 14:23

ouverte et C° non ?

PS Bonjour, merci !

par **yos** » 05 Déc 2007, 14:34

Il me semble que j'avais pas utilisé la continuité l'autre jour dans ton message. Vérifie.

par **ThSQ** » 05 Déc 2007, 14:35

Exact yos avait déjà répondu !

par **abcd22** » 05 Déc 2007, 17:46

yos a écrit:Il me semble que j'avais pas utilisé la continuité l'autre jour dans ton message. Vérifie.

Tu dis que l'image d'un intervalle est un intervalle quand même...

par **yos** » 05 Déc 2007, 18:16

abcd22 a écrit:Tu dis que l'image d'un intervalle est un intervalle quand même...

J'avais dit ça en effet :

Yos a écrit:Si le sup est réalisé en c intérieur à ]a,b[, l'image de l'ouvert ]a,b[ est un intervalle dont la borne supérieure est f(c) incluse, donc pas ouvert.

...mais à l'époque la fonction était continue.
En fait ça sert à rien : f(]a,b[) n'est pas un voisinage de f(c) donc n'est pas ouvert.

par **abcd22** » 06 Déc 2007, 00:16

yos a écrit:...mais à l'époque la fonction était continue.
En fait ça sert à rien : f(]a,b[) n'est pas un voisinage de f(c) donc n'est pas ouvert.

Mais avec une fonction non-continue ce n'est pas sûr qu'un tel c existe ni même que la fonction soit bornée sur ]a,b[ a priori, si la proposition est encore vraie dans ce cas il faut un (ou des) argument(s) en plus pour la démontrer.

par **yos** » 06 Déc 2007, 11:11

Ouais ça demande un examen plus approfondi. Merci de me signaler cette erreur.

par **ThSQ** » 06 Déc 2007, 18:34

Une hypothèse supplémentaire de régularité (C° par ex) est indispensable !

Il y a des fonctions ultra-pathologiques qui prennent toutes les valeurs réelles sur tout intervalle ouvert non vide (ex. solution non C° de l'équation de Cauchy). Elles sont ouvertes (l'image de tout ouvert non vide est IR him-self !) et évidemment pas monotones.
Moins pathologique on peut bricoler des fonctions ad-hoc, style

si x > 0, et 0 si x <= 0.

par **yos** » 06 Déc 2007, 18:54

Bon. Donc l'exo est faux.

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