Fonction continue

[raptor77]

Bonjour j'aurais besoin de l'aide pour cette question ouverte :
f:[0;1]----->[0;1]
Démontrer qu'il existe un réel X de [0;1] tel que f(X)=X

Merci d'avance pour votre aide
Cordialement Raptor

[tize]

Bonjour,
je suppose que f est continue, sinon c'est faux...
tu peux faire un dessin, si il n'existe pas de x tel que f(x)=x alors cela veut dire que le graphe de f est strictement soit au dessus (soit en dessous) de la droite y=x.
Si c'est au dessus, qu'est ce que cela implique d'après le graphe pour f(1) ?
Si c'est en dessous, qu'est ce que cela implique d'après le graphe pour f(0) ?

[raptor77]

ca implique que leur image ne se trouve pas 0;1?

[tize]

oui mais comme f:[0;1]->[0;1] alors in a une contradiction...donc il existe forcément...

[esprit chagrin]

on pose : F(x) = f(x) - x

F : [0,1] -> [-1,1]

F(0) = f(0) ;) 0
F(1) = f(1) - 1 ;) 0
F est continue

donc il existe un nombre n, tel que , F(n) = 0 , ie , f(n)=n

[raptor77]

j'ai pas trop compris ta démonstration esprit chagrin

[esprit chagrin]

j'ai pas trop compris ta démonstration esprit chagrin

on pose : F(x) = f(x) - x

on a :

F est définit de [0,1] vers [-1,1]
car : 0;)f(x);)1 et -1;)-x;)0

on a :

F(0) = f(0) - 0 0
F(1) = f(1) - 1 0

F est continue , puisque x->f(x) et x->-x sont continues

donc il existe un nombre n (0;)n;)1) , tel que , F(n) = 0 , ie , f(n)=n

[Nightmare]

Bonsoir,

en fait f croissante suffit, je te laisse le démontrer.

[raptor77]

on pose : F(x) = f(x) - x

on a :

F est définit de [0,1] vers [-1,1]
car : 0;)f(x);)1 et -1;)-x;)0

on a :

F(0) = f(0) - 0 0
F(1) = f(1) - 1 0

F est continue , puisque x->f(x) et x->-x sont continues

donc il existe un nombre n (0;)n;)1) , tel que , F(n) = 0 , ie , f(n)=n

ce que je comprends pas c'est ca F(n) = 0 , ie , f(n)=n pourquoi si F(n)=0 ie f(n)=n?

[raptor77]

ce que je comprends pas c'est ca F(n) = 0 , ie , f(n)=n pourquoi si F(n)=0 ie f(n)=n?

Ah non c'est bon j'ai compris merci