Limites

[ryo69]

Bonjour tout le monde
je bloque sur cet exercice
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Soit la fonction f définie sur ]-2,+inf[ par : f(x)=(x^2+x-7)/(x+2)
1) Déterminer les réels a, b et c tels que : f(x)= ax + b + c/(x+2)
2)calculer les limites de f aux bornes de son intervalle de définition
3)calculer la dérivée, le signe tableau de variation...
4)Montrer que la courbe représentative C de f admet la droite y=x-1 pour asymptote en +INF. Etudier la position de C par rapport à la droite y=x-1
5)Montrer que C admet une autre asymptote dont on présisera son équation
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Mes réponses :
1)a=1; b=-2; c=x-3 ( à vérifier )
2)limite en -2= +inf
Limite en +inf = +inf
3)j'ai réussi à faire cette question, j'en déduit que la fonction est strictement croissante sur son domaine de défintion.
4)f(x) - (x-1) = x^2+x-7)/(x+2) - (x-1)
=-5/(x+2)==> la limite de cette fonction quand x tend vers +00 est 0,
mais je ne vois pas comment déterminer sa position.
5) c'est ici que je bloque en fait

merci par avance de m'aider

[Noemi]

1)a=1; b=-2; c=x-3 ( à vérifier )
Refais tes calculs, il faut trouver a = 1; b = -1 et c = -5
2)limite en -2= +inf faux, c'est -oo quand x tend vers -2+
Limite en +inf = +inf juste
3)j'ai réussi à faire cette question, j'en déduit que la fonction est strictement croissante sur son domaine de défintion.
4)f(x) - (x-1) = x^2+x-7)/(x+2) - (x-1)
=-5/(x+2)==> la limite de cette fonction quand x tend vers +00 est 0,
Il faut être plus précis pour la limite c'est 0- donc la courbe est au dessous de la tangente
mais je ne vois pas comment déterminer sa position.
5) Quand x tend vers -2+, f(x) tend vers -oo, donc x = -2 est asymptote verticale.

[ryo69]

c'est possible de me conner une piste pour trouver les réels a; b et c
réponse à la question 1)
merci

[Noemi]

Tu réduis au même dénominateur
f(x)= ax + b + c/(x+2) = [(ax+b)(x+2)+c]/(x+2)

tu développes le numérateur et tu le compares avec x^2+x-7.

[ryo69]

j'ai fais ce que vous m'avez dis, mais j'arrive toujours pas à determiner les réels a b et c

[Noemi]

(ax+b)(x+2)+c = ax^2+(2a+b)x +2b + c
qui doit être égal à x^2+x-7
soit par identification :
a = 1
2a+b = 1
2b+c = -7

Reste à calculer les valeurs de b et c

[ryo69]

ok je vous remercie beaucoup
je me permet de vous poser une question ( plutôt du cour )
comment on fait pour déterminer par exemple à la question 2)
ils disent de calculer les limites en -2 et +INF
au dénominateur on se retrouve avec un 0, mais comment on sait que c'est un 0 + ou - ainsi pour le 2 vous avez écrit précedement que c'est un -2+, comment on sait que c'est un 2+
mais par avance

[Noemi]

Le domaine d'étude est ]-2;+oo[, ce qui veut dire que la valeur -2 est interdite mais que l'on prend une valeur à droite de -2, soit -1,99999 qui est supérieure à -2 soit -2+

Pour la limite -5/(x+2) tend vers -5/(-1,99999+2) soit -5/0+
(0+ car -1,9999999+2 = 0,00000001)
et -5/0+ tend vers -oo car c'est -5 * 1/0+.

[ryo69]

donc si par exemple j'ai -2+2 et qu'on travaille sur ]-2;+INF[
la réponse sera : -2+ +2=0+

[Noemi]

oui c'est cela.