Vérification de convergence d'une série

[pihro]

Bonjour,

J'aimerai savoir si mon raisonnement est correct :

Donc la série converge.

J'ai trouvé cet exo dans un bouquin, mais ils l'ont fait autrement, alors j'aimerai savoir si ce que j'ai écrit est correct ou pas...

Merci d'avance !

[xyz1975]

Bonjour,
Le DL à l'ordre 1 ne suffit pas pour en déduire la nature car on ignore la nature de la série de terme général o(1/n).
D'une manière générale la série de terme général o(Un) est covergente si la série de terme général Un est absolument convergente (il suffit de voir la définition de petit o).
NB : c'est une condition suffisante mais non nécessaire.
Un DL à l'ordre 2 s'impose ici.

[pihro]

Dans le bouquin, ils ont effectivement fait un développement à l'ordre 2, mais je n'avais pas compris pourquoi il était nécessaire. C'est plus clair pour moi maintenant.

Merci et bonne fin d'après midi !

[Lierre Aeripz]

Il me semble que la série est divergente... Le terme en 1/n est de signe constant.

[ThSQ]

D'accord avec "Lierre Aeripz" : c'est + truc absolument convergent. Ca diverge

[xyz1975]

Non même si le terme 1/n est de signe constant on ne peut par déduire, ils suffit d'écrire la définition de o(f). La série est convergente en faisant un DL à l'ordre 2 ce qui prouve encore une fois que ne sait pas la nature de la série de terme général o(1/n).

[Lierre Aeripz]

Explique toi plus... Je t'assure que la série diverge.

[xyz1975]

D'accord avec "Lierre Aeripz" : c'est + truc absolument convergent. Ca diverge

Mais non encore une fois :

La série de terme général est convergente mais la série de terme général on ne connais même pas son signe.
Rappel :
o(f) est L'ENSEMBLE de toutes les fonctions négligeable devant f
Faites un DL à l'ordre 2 vous récupérez une série convergente ?!!!!

[ThSQ]

Je comprends pas ce que tu dis xyz. Qui te parle de o(1/n) ????

[Lierre Aeripz]

Soyons plus clair...


avec

Es-tu d'accord ?
Eh bien est sommable, la série converge et la série diverge. Donc la série de terme général la somme de ce trois termes diverge.

Effectivement, si on met un o(1/n) (petit 'o') plutôt qu'un O(1/n^2) (grand 'O'), on ne peut pas conclure.

[klevia]

Bonsoir à tous,
Pour montrer que la serie converge , il suffit de multiplier par l'expression conjugué.
Au numérateur, il reste et au denomiteur quelque chose de borné et plus grand que 1
Précisement, on obtient ceci:
Ainsi on obtient :


D'ou d'après le critère des serie alterné, la série converge

J'espère ne pas avoir dit de bétise ...

[xyz1975]

Je suis d'accord avec vous, j'ai pas vérifié les calculs mais j'ai répondu à pihro par rapport à la série o(1/n).