Démonstration de la convergence d'une série

par **le fouineur** » 26 Aoû 2006, 20:48

Bonjour à tous,

Soit la série de terme général u(n)=ln[1+(1/n^2)]

En utilisant le critére de l'intégrale associée, j'arrive à démontrer que cette série converge:

Intégrale de 1 à +oo de ln[1+(1/x^2)]*dx existe donc la série associée converge....

Y a t'il un autre critère plus simple pour démontrer la convergence de cette série?Comment calculer la limite de cette série de 1 à +oo?
N' ai-je pas tout simplement fait une erreur dans mon raisonnement?

Merci de me répondre car je suis à bout d'arguments pour ce faire.....

Cordialement le fouineur

par **nekros** » 26 Aoû 2006, 20:58

Salut,

Avec un développement asymptotique, tu as que

en

A partir de là, je vois deux façons de procéder :

***

est donc équivalent à

en

.
Or, la série de terme général

converge (Riemann avec

)

Donc

converge également. (deux séries à termes positifs)

***
On sait que

converge. D'autre part, on note

On en déduit donc que

quand

tend vers

On a donc

à partir d'un certain rang (par définition de la limite)
Par comparaison avec une série à terme positif,

est absolument convergente donc converge.

Par conséquent,

converge en tant que somme de séries convergentes.

Sauf erreurs.

A+

par **le fouineur** » 27 Aoû 2006, 11:37

Bonjour nekros et merci pour ta réponse rapide,

La premiére façon de démontrer la convergence par les équivalents est en soi assez simple à comprendre:c'est celle que je retiendrais....

La deuxième façon que tu exposes est par contre plus difficile à appréhender...Tu utilises le critère de Cauchy?

D'autre part comment connaître la limite de la série quand n->+oo? Pour les intégrales c'est facile:il suffit de passer à la limite....Comment fais-t'on pour les séries?

Merci de me répondre Cordialement le fouineur

par **kaiser** » 27 Aoû 2006, 12:21

Bonjour

nekros> tes deux réponses sont contradictoires. D'abord, tu dis que

et ensuite tu dis que le rapport

tend vers 0. La deuxième méthode peut néanmoins utiliser le fait que pour tout réel x,

.

Kaiser

par **nekros** » 27 Aoû 2006, 12:45

kaiser a écrit:Bonjour

nekros> tes deux réponses sont contradictoires. D'abord, tu dis que et ensuite tu dis que le rapport tend vers 0. La deuxième méthode peut néanmoins utiliser le fait que pour tout réel x, .

Kaiser

Salut Kaiser,

Dans la première, je considère la série de terme général

uniquement, et dans la seconde celle de terme général

et celle de terme général

A+

par **kaiser** » 27 Aoû 2006, 13:03

Au temps pour moi ! J'avais mal lu !

Kaiser

par **nekros** » 27 Aoû 2006, 13:09

kaiser a écrit:Au temps pour moi ! J'avais mal lu !

Kaiser

Il n'y a pas de mal :lol4:

A+

par **B_J** » 28 Aoû 2006, 03:42

Bonjour

on peut considerer la suite des sommes partielles et la transformer en un log d'un produit .
pour le calcul de la limite voir ICI

par **le fouineur** » 28 Aoû 2006, 17:35

Bonjour à tous,

Merci B_J pour le lien que tu m'as indiqué,

Après lecture attentive de la solution il m'apparait assez ardu de faire le lien entre ma somme de logarithmes et le produit infini d'une fonction eulérienne.....(Je n'ai pas encore étudié les produits infinis)
Mais le résultat donné dans la discussion est exact:J'ai calculé les 5000 premiers termes de ma série et les décimales coincident bien avec celle de la fonction proposée....

Je te remercie bien ainsi que nekros pour l'aide fournie

Cordialement le fouineur

par **nekros** » 28 Aoû 2006, 17:41

Pour ma part, je t'en prie ! :happy3:

A+

par **B_J** » 28 Aoû 2006, 20:15

A ton service ;)

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