Convergence absolue d'une série

[Ewok]

Bonsoir!
J'ai une suite (un) à valeurs complexes telle que le module de chacun de ses termes soit inférieur stric à 1 et telle que la série des |un| converge.
Je veux montrer que la série des ln|1+un| est absolument convergente, mais j'arrive seulement à montrer qu'elle est convergente... Il faudrait simplement que j'arrive à montrer que |ln|1+un|| est inférieur à ln(1+|un|) mais...ça bloque^^ Si vous pouviez m'aider...merci d'avance!

[Isomorphisme]

Bonsoir,

Tu peux utiliser l'inégalité triangulaire :

et le tour est joué.

[Ewok]

Euh...je me retrouve avec ln|1+un| (et non pas |ln|1+un||) inférieur à ln(1+|un|), non?

[rifly01]

Salut,

Je pense que tu dois remarquer ceci :

De cette inégalité tu peux dire : car |u_n|>0.

Ce qui te permet de conclure à la convergence de .

[Ewok]

Mais ça me permet pas d'en déduire que converge...non?
Ce que j'aimerai faire c'est montrer que pour en déduire du théorème sur les séries à termes équivalents positifs que converge donc converge...

[Ewok]

Si je peux me permettre de relancer ce sujet :lol2:

[bitonio]

Si et converge, alors converge.

[Ewok]

Ah d'accord merci!
Edit: Euh en fait non...J'ai bien:

mais pas
ou bien j'ai rien compris?^^

[bitonio]

Faux d'ailleurs ^^

[Ewok]

J'ai édité

Moi de même...Désolée d'avoir autant de mal :triste:

[bitonio]

Pas grave, on est tous passé par là ^^ (et encore moi j'en suis pas sorti :triste: !)

[Ewok]

Pas grave, on est tous passé par là ^^ (et encore moi j'en suis pas sorti :triste: !)

Si t'avais lu mon édition tu verrais que j'ai toujours pas percuté le truc :ptdr:
Tu la montres comment l'inégalité avec la valeur absolue?

[bitonio]

Il semble en effet que je sois passé à la valeur absolue comme un barbare, ce qui n'est bien sûr pas autorisé (et sûrement pas vérifié!). Je réfléchis...

[yos]

En plus de la majoration de par , tu peux obtenir une minoration :

La dernière inégalité pour 0 puisque la suite tend vers 0.
Finalement .
A améliorer.

[tize]

... montrer que |ln|1+un|| est inférieur à ln(1+|un|)

C'est vrai ça ?
sinon tu peux montrer que et pour proche de 0, on :

[Ewok]

Excuse moi mais j'ai pas compris comment tu procèdes pour les trois dernières étapes de ta minoration...

PS: Sinon tize je sais pas du tout si "c'est vrai ça" mais ça m'aurait arrangé^^

[yos]

Tize et moi arrivons à la même chose.
(bien connu et facile).
facile avec .
Tu peux aussi court-circuiter l'avant-dernière étape en montrant que pour x entre 0 et 1/2.
...

[Ewok]

Ok merci beaucoup à vous tous!