Problème de convergence d'une série

[mariounette]

Bonjour,

J'ai un petit problème avec une série numérique, il faut que je montre que :

\[\sum_{n\in N}^{\infty} exp(-n^\epsilon)\] est finie, avec $\epsilon > 0$ fixé.

Je viens d'écrire en latex.

Je vais essayer de le dire en français :
Je voudrais montrer que la série de terme général exp(-n^epsilon) converge pour epsilon strictement positif fixé.


Merci beaucoup pour la personne qui pourra m'éclairer.

[Mohamed]

c'est une somme des termes d'une suite géométrique..

[Ledescat]

Pas avec la puissance epsilon à mon sens.

[B_J]

Salut;
si alors d'ou la convergence de la serie
reste le cas

[mariounette]

Oui je sais pour epsilon supérieure ou égale à 1 mais un epsilon est petit!! le cas qui m interesse est epsilon < 1 !

Et ce n'est pas une suite géométrique avec le epsilon!

Merci pour vos réponses

[B_J]

en appliquant le critere de comparaison serie-integrale
converge d'ou la convergence de la serie

[BiZi]

en appliquant le critere de comparaison serie-integrale

Et on montre ca comment rigoureusement?

[B_J]

Et on montre ca comment rigoureusement?

en posant ?

[B_J]

puis en montrant que )

( ce qui donne )

[mariounette]

Je n'ai pas tout compris.
Si je considère la fonction f qui a x associe exp(-x^epsilon), cette fonction est décroissante, positive et intégrable sur [0,+infini[. Donc d'après le théorème de comparaison série intégrale je peux affirmer que la série de terme général exp(-n^epsilon) est convergente...

C'est juste ça ou non ?


Je ne comprends pas l'histoire du x^2 ?

[BiZi]

Je n'ai pas tout compris.
Si je considère la fonction f qui a x associe exp(-x^epsilon), cette fonction est décroissante, positive et intégrable sur [0,+infini[. Donc d'après le théorème de comparaison série intégrale je peux affirmer que la série de terme général exp(-n^epsilon) est convergente...

C'est juste ça ou non ?


Je ne comprends pas l'histoire du x^2 ?

En fait, le théorème de comparaison série intégrale est ici superflu. Il suffit de dire à partir de


que

et que donc la série converge.

[B_J]

Je n'ai pas tout compris.
Si je considère la fonction f qui a x associe exp(-x^epsilon), cette fonction est décroissante, positive et intégrable sur [0,+infini[. Donc d'après le théorème de comparaison série intégrale je peux affirmer que la série de terme général exp(-n^epsilon) est convergente...
C'est juste ça ou non ?

oui c'est juste

Je ne comprends pas l'histoire du x^2 ?

pour montrer que l'integrale converge ( on aurait pu prendre x^k avec k>1)
car
et on sait que converge

[B_J]

Il suffit de dire à partir de


que

et que donc la série converge.

[mariounette]

Merci BJ j'ai compris ton explication sur x^k exp(-x^epsilon) avec k>1.


Par contre je ne comprends pas le exp(-n^epsilon)=o(n^2).

tu sais comment on fait pour écrire des formules de maths la dessus on peut utiliser l'écriture latex?

[B_J]

Par contre je ne comprends pas le exp(-n^epsilon)=o(n^2).

c'est en gros ce qu'on a fait
( au voisinage d'un point ou ) si en ce point

tu sais comment on fait pour écrire des formules de maths la dessus on peut utiliser l'écriture latex?

voir ca par exemple

[mariounette]

Ouais ben en fait je crois ke j etais mal reveillée parck j avais lu 0(n^2) au lieu de 0(1/n^2)... Pour 0(1/n^2) bien sur je suis d accord..

[B_J]

Ouais ben en fait je crois ke j etais mal reveillée parck j avais lu 0(n^2) au lieu de 0(1/n^2)... Pour 0(1/n^2) bien sur je suis d accord..

c'etait une erreur de ma part ; j'ai rectifié après
rq: on a aussi exp(-n^epsilon)=o(n²) mais ca permet pas de conclure

[lag]

Je bog sur ceci: Je dois étudier la convergence de la série suivante

INtervalle de n=1 a l'infini

n/(n²+1)³/²


merci bpc

[fahr451]

bonsoir l équivalent est immédiat

[juve1897]

bonsoir l équivalent est immédiat

oui je pensais moi aussi à

un= n/(n^2+1)^3/2

or un ~ 1/n^3/2

on a 3/2 > 1 donc la serie converge.

Mais je crois que lag veux savoir vers quelle limite la serie converge.