Couple d'entier naturel u et v

[jdamdami]

Bonjour, je suis en seconde et notre professeur nous a donné ce petit exercice a faire

1) Démontrer que pour tout couple d'entiers naturel u et v on a

(u²-v²)² + (2uv)² =(u²+v²)²

2) Montrer que si a, b et c sont trois entiers naturel tels que a²+b²=c² alors on peut trouver deux entiers naturel u et v tels que
a=u²-v²
b=2uv
c=u²+v²

Merci d'avance

[Chimerade]

Bonjour, je suis en seconde et notre professeur nous a donné ce petit exercice a faire

1) Démontrer que pour tout couple d'entiers naturel u et v on a

(u²-v²)² + (2uv)² =(u²+v²)²

2) Montrer que si a, b et c sont trois entiers naturel tels que a²+b²=c² alors on peut trouver deux entiers naturel u et v tels que
a=u²-v²
b=2uv
c=u²+v²

Merci d'avance

Oui, d'accord ! Et quelle est la question ? Sur quoi bloques tu ?

[Anonyme]

ben sur tout lool mais le 1) et le 2) cé la meme chose ..

[Chimerade]

ben sur tout lool mais le 1) et le 2) cé la meme chose ..

Mais pas du tout !

Je trouve que le 2) est un peu trop difficile pour des "seconde" (je me souviens l'avoir fait souvent ce 2), mais aujourd'hui, je n'arrive pas à retrouver comment je faisais, dans ma jeunesse...)

Par contre le 1) est évident de chez très facile. Quand même ! En seconde !
Tu ne sais pas calculer (u²-v²)² + (2uv)², d'une part et (u²+v²)² d'autre part ? C'est incroyable de chez stupéfiant ! Dis moi que j'ai mal compris !

[julian]

Bonjour à toi,
Pour démontrer une égalité on part d'un membre pour arriver à l'autre:je te conseille de partir ici de (u²+v²)².
Pour calculer (u²+v²)² tu appliques tout simplement l'identité remarquable (a+b)²=a²+2ab+b².
Cordialement.
ps: l'amour que te porte Chimerade veut tout simplement dire qu'il te conseille de bien bosser çà car çà devrait être acquis en 2nde :++: :ptdr:

[Anonyme]

bjr...

g reçu le méme problème mais on me demande en plus de prouver qu'on peut déterminer tous les triangles rectangles rectangles dont les côtés €N

en sachant que a=u²-v²
b=2uv
c=u²+v²

u= (racinede (a+c))/2
v= (racine de (c-a))/2

et je ne trouve pas la formule...

PS: a²+b²=c²

[Chimerade]

bjr...

g reçu le méme problème mais on me demande en plus de prouver qu'on peut déterminer tous les triangles rectangles rectangles dont les côtés €N

en sachant que a=u²-v²
b=2uv
c=u²+v²

u= (racinede (a+c))/2
v= (racine de (c-a))/2

et je ne trouve pas la formule...

PS: a²+b²=c²

Ce n'est pas une bonne idée de partir de

[INDENT]en sachant que a=u²-v²
b=2uv
c=u²+v²[/INDENT]

Enfin, ça peut te donner une idée, je ne sais pas, peut-être, sur la façon de raisonner ; mais pour la "solution" il faut trouver u, trouver v et constater que a=u²-v²
b=2uv
c=u²+v²
mais tu n'as pas le droit de supposer a priori que a, b et c peuvent s'écrire comme ça !

Quand j'aurais retrouvé, je te le dirai, mais il faut chercher...

[Anonyme]

je cherche mais je ne trouve rien...

Je crois que ça a un rapport avec le triangle d'or...

[Nicolas_75]

Bonjour,




(on sait que puisque )

Il reste à vérifier que et vérifient la 3ème équation :


et conviennent donc.

Nicolas

EDIT : j'ai oublié de démontrer que et sont entiers naturels.

[Chimerade]

je cherche mais je ne trouve rien...

Je crois que ça a un rapport avec le triangle d'or...

Heureusement que tu es là pour nous aider !

[Chimerade]

Bonjour,




(on sait que puisque )

Il reste à vérifier que et vérifient la 3ème équation :


et conviennent donc.

Nicolas

EDIT : j'ai oublié de démontrer que et sont entiers naturels.

Amusant Nicolas_75 ! Je te signale que s'il n'y avait pas la contrainte a,b,c entiers, on pourrait choisir a quelconque positif, b quelconque positif, et . Par conséquent la seule difficulté de ce problème est précisément de trouver des entiers satisfaisant cette condition. Donc, si tu as oublié de montrer que u et v sont entiers, tu as tout simplement oublié de traiter le problème ! Mais bon ! :ptdr: :ptdr: :ptdr:

Je persiste à penser que ce problème, sans être la question du siècle, est quand même assez délicat, et à mon avis, totalement hors de portée d'un élève de seconde. Et je maintiens également que la question 1) est extrêmement facile et que son niveau de difficulté n'a rien à voir avec celui du 2) ! J'ai reconstitué une partie de ma démonstration, mais une partie n'est pas le tout ! Je cherche encore...

[Nicolas_75]

Bonjour Chimerade,

Je te trouve bien acide ces derniers temps. :briques:
Il est vrai que je n'ai pas traité tout le problème. Je l'ai d'ailleurs explicitement dit dans mon dernier message.
Je me permets toutefois de te signaler que le jeu ne consiste pas à trouver a,b et c, mais... u et v.

Nicolas

[Chimerade]

Bonjour Chimerade,

Je te trouve bien acide ces derniers temps. :briques:
Il est vrai que je n'ai pas traité tout le problème. Je l'ai d'ailleurs explicitement dit dans mon dernier message.
Je me permets toutefois de te signaler que le jeu ne consiste pas à trouver a,b et c, mais... u et v.

Nicolas

Ne te fâche pas, ce n'était pas bien méchant. Je disais cela sur le ton de la rigolade et ce n'était pas du persiflage acide. :++:

Ce qui perturbe en fait, c'est le contraste entre la dificulté du problème et le niveau des élèves censés le résoudre. Si l'on oublie la contrainte selon laquelle u et v doivent être entiers, ce que tu as fait correspond très exactement à ce que doit savoir faire un élève de seconde. Mais justement tout le problème est dans cette contrainte.

Tu as dû remarquer que j'ai tendance à surestimer le niveau des classes. Il m'arrive souvent de penser que les problèmes posés ici sont trop faciles pour justifier une demande d'aide, compte tenu de la classe où se trouvent ceux qui sollicitent cette aide. Eh bien, exceptionnellement, j'ai la réaction exactement contraire. Je suis convaincu que la plupart des Terminales ne sauraient pas résoudre ce problème ! C'est beaucoup trop difficile !

Bref ! Sois sympa, ne m'en veux pas pour ça ! Il n'y avait aucune méchanceté dans mon post !

[Nicolas_75]

Chimerade, pas de souci ! :we:

[Anonyme]

MERCI beaucoup!!!

j'ai réussi à déterminer les triangles rectangles de la question 3):
il suffit de remplacer u et v par des entiers naturels consécutifs mais je nesuis sur de rien.

[Chimerade]

Chimerade, pas de souci ! :we:

Merci Nicolas :++: !

[Chimerade]

J'ai réussi à faire la démonstration d'une chose différente :

Si a, b et c sont trois entiers naturel tels que a²+b²=c² alors on peut trouver trois entiers naturel u et v et P tels que
a=P*(u²-v²)
b=P*(2uv)
c=P*(u²+v²)

En d'autres termes, en divisant a,b et c par leur PGCD, on obtient A=a/P,B=b/P et C=c/P. Et effectivement, on peut trouver u et v tels que C=u²+v², et A et B égaux à (u²-v²) et à 2uv (pas nécessairement dans cet ordre).

Je crois que j'ai un bon prétexte pour ne pas avoir prouvé exactement ce qui était demandé : c'est que c'est faux (enfin, il me semble) !

En effet, si l'on trouve u et v tels que :
a=(u²-v²)
b=(2uv)
c=(u²+v²)
il est clair que c est nécessairement le plus grand des trois, puisque c-a=2v² est positif, et que c-b=(u-v)² est également positif.
Ainsi, les trois nombres 9,12,15 vérifiant l'équation (81+144=225), on devrait trouver u et v tels que u²+v²=15, et il suffit d'essayer u=1,u=2,u=3 pour constater que c'est impossible. Par contre ces trois nombres sont les produits par 3 des trois nombres 3,4,5, pour lesquels on peut trouver u=2,v=1 (1²+2²=5, 2²-1²=3, 2*1*2=4).

Quant à la démonstration, elle fait plus de deux pages, et si cela intéresse quelqu'un je la lui enverrai volontiers. Il me semble évident qu'on ne peut demander cela à un élève de seconde...