Factorielle d'un entier naturel T S

[gru]

Bonjour.

Il me semble que ce n'est pas au programme, mais notre professeur de math en a tout de même fait l'objet d'un devoir maison ...

Je me suis cassé la tête durant cinquante minutes avant de me décider à allumer l'ordinateur ...

Voici le problème:

a) Calculer 4!, 5!, et 6!. (Jusque là, ça va.) Démontrer que 6! X 7! = 10! (sans calculer 10! ni utiliser la calculatrice).
Je n'ai aucune idée de comment faire. J'ai essayé de démontrer (en vain) qu'une factorielle est égale à la multiplication de deux autres factorielles lorsque la moitié du plus petit des facteurs additionné au plus gros était égale au résultat (sans factorielle). Tordu et inefficace! Je pense qu'il faut arriver à résoudre cela avec les suites, et j'ai donc essayé la question suivante (ci-dessous), toujours en vain!

b) Simplifier . Ici, j'arrive à , mais guère plus ...

Merci d'avance ...

[Titahn]

Salut !

C'est beaucoup plus simple que ça =).

Tu es d'accord que 7! * 8 * 9 * 10 = 10!

A toi de montrer que 6!=8*9*10 ;)

Edit : Finalement, j'ai réussi ! \o/

[ampholyte]

Bonjour,

b) On sait que :
n! = n(n - 1)(n - 2) .... 1
(n - 1)! = (n - 1)(n - 2)(n - 3) ... 1

Donc En simplifiant il ne te reste plus grand chose.

[gru]

Salut !

C'est beaucoup plus simple que ça =).

Tu es d'accord que 7! * 8 * 9 * 10 = 10!

A toi de montrer que 6!=8*9*10

Merci beaucoup. Il faut avouer que la logique simple et moi ...

Enfin merci ... vous n'auriez pas un coup de pouce pour la question b) ? :lol3:

[Titahn]

Merci beaucoup. Il faut avouer que la logique simple et moi ...

Enfin merci ... vous n'auriez pas un coup de pouce pour la question b) ? :lol3:

Ampholyte a été très clair à ce niveau là

[gru]

Merci.

J'étais resté sur l'autre page et votre réponse ne s'était pas affichée.

[gru]

Rebonjour.

Je suis maintenant en difficulté à la question c) ... Je poste l'énoncé suivi de mon début de réponse.

Énoncé: Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout , on a .

Réponse: On considère la proposition .

Initialisation: Pour , et donc P1 est vraie.

Hérédité: On suppose que la proposition est vraie au rang P, c'est à dire pour un entier naturel , . Il s'agit, sous cette hypothèse, de prouver que la proposition est aussi vraie au rang , c'est à dire que .

Je dois avouer que sous ce beau texte, je ne sais pas trop où je vais ...

Merci d'avance.

[Titahn]

Pars de ce que tu sais : p!>=2^(p-1)

Comment tu fais pour passer à (p+1)! ?

Indice : p+1>=2 pour p>=1

[gru]

Pars de ce que tu sais :

Comment tu fais pour passer à (p+1)! ?

Indice : p+1>=2 pour p>=1

Comment puis-je partir de ce que je sais, p!>=2^(p-1) ? Ce n'est pas parce que cela marche avec P=1 que c'est vrai pour P. Si ?
De plus, j'applique la méthode prescrite par le professeur, mais je ne comprend pas l'intérêt de passer de k à p. Y a t-il une différence entre k, p et P ?

Merci.

[ampholyte]

Il n'y a pas de différence entre p et k. En revanche entre p et P il y a une différence.

p est un indice alors que P fait référence à la proposition.

Je pense que Titahn t'a donné la clef pour conclure l'héridité.

Pour passer de p! >= 2^(p - 1)

Il suffit de multiplier par (p + 1) qu'est-ce que cela te donne ?

[Titahn]

Pardon, ce n'est pas ce que tu sais, mais ce que tu supposes être vrai.

Donc ici tu supposes que p!>=2^(p-1).
Il y a une opération à faire (un truc à multiplier à droite et à gauche) pour avoir du (p+1)!.

En faisant ça, puis en utilisant l'indice que je t'avais donné plus haut, tu devrais aboutir à (p+1)!>=2^(p).

Ici ton grand P c'est un petit p. A ne pas confondre avec P1 qui est le nom de ta propriété. Et tu aurais tout aussi bien pu utiliser des k, des f ou des petites fleurs bleues, ça aurait marché aussi. Là je pense que ton prof veut juste dissocier la formule générale, avec des k. Et une situation où on va l'appliquer plus concrètement, du coup on remplace les k par autre chose, arbitrairement les p.

Edit : Bon, 4 minutes c'est tolérable, t'as de la chance.

[gru]

Merci ampholyte et titahn.

Mais quelles sont les règles de la multiplication pour les factorielles, parce que là, j'essaye inefficacement de multiplier p! par (p+1).

Merci encore.

[ampholyte]

Voici un exemple :

5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

6 * 5! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 6!

[gru]

Voici un exemple :

5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

6 * 5! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 6!

OK pour des nombres, mais avec des inconnues ?

J'en suis à , ce qui ne me semble pas d'une exactitude fantastique ...

[ampholyte]

C'est le même principe

k! = k(k - 1)(k - 2)...3 * 2 * 1

(k + 1)k! = (k + 1)k(k - 1)...3 * 2 * 1 = (k + 1)!

N'hésite pas à décomposer en produit lorsque tu as un doute.

[gru]

C'est le même principe

k! = k(k - 1)(k - 2)...3 * 2 * 1

(k + 1)k! = (k + 1)k(k - 1)...3 * 2 * 1 = (k + 1)!

N'hésite pas à décomposer en produit lorsque tu as un doute.

Argh! Je comprend parce que c'est la réponse que je cherche, mais le pourquoi du comment m'échappe!

[ampholyte]

Cela découle de la définition du factorielle.

Repartons sur l'exemple.

Prenons 2! :

2! = 2 * 1

Regardons ce que donne 3! :

3! = 3 * 2 * 1 = 3 * (2 * 1) = 3 * 2!

De la même manière :

5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5 * (4 * 3 * 2 * 1) = 5 * 4! ou encore
5! = 5 * 4 * (3 * 2 * 1 ) = 5 * 4 * 3! ou encore
5! = 5 * 4 * 3 * (2 * 1 ) = 5 * 4 * 3 * 2! ou encore ...

[gru]

Cela découle de la définition du factorielle.

Repartons sur l'exemple.

Prenons 2! :

2! = 2 * 1

Regardons ce que donne 3! :

3! = 3 * 2 * 1 = 3 * (2 * 1) = 3 * 2!

De la même manière :

5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5 * (4 * 3 * 2 * 1) = 5 * 4! ou encore
5! = 5 * 4 * (3 * 2 * 1 ) = 5 * 4 * 3! ou encore
5! = 5 * 4 * 3 * (2 * 1 ) = 5 * 4 * 3 * 2! ou encore ...

Bien sur! Merci beaucoup!

[gru]

Dernière question (dont je pense détenir la réponse, mais ce serait stupide de se planter après tant de recherche!): J'en arrive à


éqà

Je peux déduire l'hérédité de cette réponse, n'est-ce pas?

Merci encore (et j'espère enfin :lol3: )

[ampholyte]

Tout à fait puisqu'en partant de Pn tu arrives à prouver que P(n + 1) est vrai =).