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par **minidiane** » 03 Oct 2007, 07:19

Bonjour j'ai besoin d'aide pour cet exercice:

1) Déterminer les isométries du carré. Montrer qu'elles forment un groupe noté D4.

2) Soit G le engendré par les matrices
A=(0 -1
1 0)
et
B=(0 1
1 0)
Le groupe G est-il isomorphe à D4?

3) Montrer qu'il existe r, c appartenant à D4 tel que
a) r^4=c^2=1, cr=r^-1c
b) D4=

4) Soit H= et K=. Calculer HK et KH. Sont-ils des sous-groupes de D4?

J'aipas bien compris ce que sont des iséométries.
Merci de bien vouloir m'aider

par **cadi** » 05 Oct 2007, 12:30

les isometries se sont des symetries, des rotations.....
dans un carrés que je note ABCD il y a 4! isometrie, il i a l'idendite, la rotation de centre o(centre du carree), les symetries ..... pour toute les touver tu ecrit toutes les permuttion possibles dans S4

par **abcd22** » 05 Oct 2007, 12:37

Il y a seulement 8 isométries du carré (4 rotations et 4 symétries), toutes les permutations des sommets d'un carré ne correspondent pas à une isométrie, par exemple si on transforme ABCD en ACBD, les distances AB et CD ne sont pas conservées.

par **thomasg** » 05 Oct 2007, 14:30

Bonjour:

isométrie, iso: même , métrie: mesure

une isométrie est une transformation qui conserve les mesures.

La suite demendera à être corrigé, arrangé ou infirmé, mais il me semble qu'intuitivement si tu composes entre elles les 8 isométrie proposées par abcd22 alors ton carré sera à nouveau transformé en un carré isométriques.

D'où la stabilité par composition. C'est donc un groupe comme sous groupe des isométries du plan.

A bientôt.

par **minidiane** » 05 Oct 2007, 16:28

ok merci sinon j'ai pas bien compris comment on montre si le groupe est isomorphe ou pas. Pouvez vous m'expliquer svp?
Merci

par **abcd22** » 05 Oct 2007, 20:34

Quelles transformations géométriques du plan représentent les matrices A et B ?

par **minidiane** » 06 Oct 2007, 10:45

Je ne sais pas :hum:

par **thomasg** » 06 Oct 2007, 15:15

Voici une méthode (certainement pas la plus efficace, mais qui est je crois simple à comprendre) pour trouver quelle est la transformation associée à une matrice:

considère un point de coordonées (x;y)
multiplie la vecteur colonne (x;y) par A tu obtiens le vecteur colonne (-y;x)
Place le point (x;y) et le point (-y;x) dans un plan repéré tu constatera que le point a effectué une rotation de pi/2 dans le sens trigo autour de l'origine.

En espérant avoir éclairci ta dernière question. A bientôt.

par **minidiane** » 06 Oct 2007, 15:23

ok merci thomasg je pense que j'ai compris
Par contre j'ai encore un problème c'est pour la dernière question je ne vois pas trop comment faire pour calculer HK et KH.

par **thomasg** » 06 Oct 2007, 16:32

Partant de l'hypothèse que HK est l'ensemble des éléments de la forme

c^n(rc)^m.

si n pair c^n=1
si n impair c^n=c

si m pair (rc)^m=1
si m impair (rc)^m=rc (ces 4 calculs s'appuient sur les données de la question 2 et sont à vérifier)

donc
si n pair et m pair alors c^n(rc)^m=1
si n impair et m pair alors c^n(rc)^m=c
si n pair et m impair alors c^n(rc)^m=rc
si n impair et m impair alors c^n(rc)^m=r^-1 (ces 4 calculs sont à nouveau à vérifier)

Donc HK est composé des 4 éléments 1 ; c ; rc ; r^-1

En espérant ne pas avoir fait trop d'erreurs, à bientôt.

par **minidiane** » 07 Oct 2007, 08:08

ok merci thomasg pour ton aide :we:

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