Variables aléatoires

[zouz]

Bonjour, j’ai deux exos de probabilité à faire et j’ai beaucoup de difficultés donc j’espère que quelqu’un pourra m’aider.

Boules colorées :

Une urne contient N boules dont N1 porte le numéro 1, N2 porte le numéro 2, …, et Nk porte le numéro k. On fait un tirage de n boules avec remise. Soit Xi le nombre de boules tirées qui portent le numéro i, et X = {X1, …, Xk}.
a) Donner la loi de X.
b) Donner la loi de Xi pour 1<= i <= k.
c) Donner la loi de (Xi, Xj) pour i différent de j.


Instants :

On effectue une suite infinie de lancers indépendants d’une pièce de monnaie. Le résultat du lancer numéro n est une variable aléatoire X, qui vaut 1 si l’on a obtenu « pile », ce qui arrive avec une probabilité p, et qui vaut 0 si l’on a obtenu « face », ce qui arrive avec une probabilité 1-p.
On note N1, N2, etc., les numéros des lancers successifs où l’on a obtenu « pile », c’est-à-dire
N1 = inf{n>=1 ; Xn = 1}, Nk+1 = inf{n>= Nk + 1 ; Xn = 1}, k>=1

a) Donner la loi de N1 et montrer que N1 est fini avec probabilité 1.
b) Donner la loi de (N1, N2). Montrer que les variables aléatoires N1 et N2 - N1 sont indépendantes et de même loi.
c) Donner la loi de N2. Donner la loi de N1 sachant N2 = n2.
d) Donner la loi de Nk pour tout k>=3.