Salut,
tout ça n'est pas niveau lycée mais je ne peux qu'approuver un peu de curiosité ^^.
En effet,
et
ont les même lois de composition interne, mais cela ne veut pas dire que n'importequelle application entre ces deux ensembles est un homomorphisme. Pour être un homomophisme, une application doit conserver globalement la structure de l'ensemble de départ.
Par définition, un homomorphisme d'anneau f est une application telle que pour tout x et y de l'ensemble de départ A, f(a+b) = f(a) + f(b), f(ab) = f(a)f(b), f(1) = 1 (1 étant les élements neutres respectivement de A et de l'ensemble d'arrivée).
Par exemple, la fonction que tu as donné est un homomorphisme (c'est la projection sur l'axe des abscisses), mais par contre, la fonction qui à a+ib associe 3 n'a rien d'un homomorphisme (on le comprends, elle détruit toute la structure de C en la mettant dans un point complétement excentré).
Quand à la
-linéarité, c'est un morphisme d'un espace vectoriel (ici
) dans
, c'est à dire que f doit vérifier, pour tout x et y de l'espace vectoriel, et pour L de R, f(x+y) = f(x) + f(y), f(Lx) = Lf(x).
On vérifie donc la
-linéarité pour la fonction partie réelle (ou encore partie imaginaire).
