Applications, structure de corps

[Neeb]

Bonjour, deux dernières petites questions dans ma phase transitoire lycée/prepa avant de vous laisser tranquille !!

1. Combien peut-on définir d'applications d'un ensemble fini possédant n éléments sur lui-même ?

2. On définit dans R² les deux opérations internes suivantes :
Addition : (a+b)+(a'+b')=(a+a',b+b')
Multiplication : (a,b)(a',b')=(aa'-bb',ab'+ba')
Montrer que R² est muni, par ces opérations, d'une structure de corps.

Merci pour votre aide !

[Mikou]

Oo ?? Tu connais la definitions d' 'application' je suppose... la reponse n'est elle pas evidente alors ?

[Neeb]

J'ai pensé à n^n mais non cela ne me parait pas évident, j'éprouve des difficultés à voir clairement la chose.

[Mikou]

tu as n antecedant pour chaqun dantre eux tu as n image possible, tu as donc n^n applications.

Si tu ne vois pas clairement les chose attend d'etre en cours tu aura un prob pour ca ..

[Huit]

2/ L'addition qu'on propose se ramène à deux additions dans R, elle est donc associative et commutative. Elle admet pour élément neutre (0,0) et chaque élément (a,b) admet un symétrique (-a,-b). Aussi cette première loi confère à R² une structure de groupe commutatif.

Pour ce qui est de la multiplication....
Elle est associative. En effet,
(a,b)x[(a',b')x(a'',b'')]=(a,b)x(a'a''-b'b'',a'b''+b'a'')
=(aa'a''-ab'b''-ba'b''-bb'a'',aa'b''+ab'a''+ba'a''-bb'b'')
de même, [(a,b)x(a'b')]x(a'',b'')=(aa'a''-bb'a''-ab'b''-ba'b'',aa'b''-bb'b''+ab'a''+ba'a'')
ce qui conduit au même résultat car on peut permuter les éléments d'une addition sur R.
La multiplication est ici évidemment commutative.

Element neutre : L'opération esr commutative donc il suffit de rechercher l'élément (m,n) tel que :
(a,b)x(m,n)=(a,b)
soit (am-bn,an+bm)=(a,b)
d'où m=1 et n=0
L'élément neutre est dnc (1,0)

Symétrie : L'élément symètrique de (a,b) est (a1,b1) tq : (a,b)x(a1,b1)=(1,0)
ce qui équivaut à (aa1-bb1,ab1+ba1)=(1,0)
d'où et
(il faut que (a,b) ne soit pas l'élément nul, c'est à dire (0,0))

Cette deuxième opération confère donc à R² une structure de groupe commutatif.

La multiplication est distributive par rapport à l'addition.
Je t'invite à calculer [(a,b)+(a',b')]x(a'',b'') et [(a,b)x(a'',b'')]+[(a',b')x(a'',b'')]

On peut donc dire que les deux opérations munissent R² d'une structure de coprs commutatif.

Il est probable que quelques erreurs de frappe se soient glissées, je te laisse le soin de les rectifier... ^^