Dm compliqué TS

[djo10]

bonjour pouvez vous m'aider svp


On note n ! = 1*2*3*..............*n et on lit "factorielle n".

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n, on a :

1 + 2*2 ! +3*3 !+ ....+ n*n !=(n+1) !-1


merci d'avance

[Flodelarab]

Ou est la récurrence ?
Montre nous ce que tu as fait.

[lapras]

salut,
c'est
n*(n!) ou (n*n)! ?

[emdro]

Bonsoir,

c'est n*(n!), et c'est immédiat par récurrence.

@Djo10,
revois les étapes de la récurrence.

[lapras]

C'est bien plus simple tout à coup ^^
récurrence, blablabla, hérédité... etc...

1 + 2*(2!)+3*(3!)+ ....+ n*(n!) + (n+1)( (n+1)! )= (n+1) ! -1 + (n+1)((n+1)! ) = (n+1)!(n+2) - 1 = (n+2)!-1
cqfd

[Flodelarab]

C'est bien plus simple tout à coup ^^
récurrence, blablabla, hérédité... etc...

1 + 2*(2!)+3*(3!)+ ....+ n*(n!) + (n+1)( (n+1)! )= (n+1) ! -1 + (n+1)((n+1)! ) = (n+1)!(n+2) - 1 = (n+2)!-1
cqfd

Et encore un dm dont il a posé toutes les énoncés avant d'avoir réfléchi et pour lesquels il a maintenant la réponse. :marteau:

[lapras]

Désolé, :cry:

[ptite fleure]

Hihi je l'ai corriger ce matin en cours cet exo

Si t'a tjs besoin d'aide...

[djo10]

écoutez , je suis pas le genre d'élève à me contenter d'une réponse trouvée sur internet, et de la recopier bêtement. Cet exercice , j'y réfléchis depuis 4 jours, et j'attendais juste un peu d'aide.

pour petite fleure, j'aimerais bien que tu m'expliques ce serait tout à fait sympathique de ta part. Merci d'avance

[Flodelarab]

écoutez , je suis pas le genre d'élève à me contenter d'une réponse trouvée sur internet, et de la recopier bêtement.

Justement. La réponse de Lapras ne t'aide pas ? Pourtant il a tout dit. Sans faire le détail.

[ptite fleure]

Je mets en italique orange les élément pour t'aider à comprendre.

Par convention
0!=1
1!=1
2!=1*2=2
3!=1*2*3=6

On va démontrer par recurrence que Pn est vraie pr n E N* :

Pn : 1+2*2!+3*3!+...+n*n! = (n+1)! - 1

-Initialisation :

Tu remplace n par 1 de chaque coté de l'égalité :

P1= 1*1=1!
(1+1)!-1=2-1=1
Dc P1 est vraie.

-Hérédité :

Soit n E N, considérons Pn vraie.
Montrons que Pn+1 est vraie aussi.

Tu remplace n par n+1 de chaque coté de l'égalité :

Pn+1=1+2+2!+3*3!+...+n*n!+(n+1)(n+1)! = (n+2)!-1

(n+2)!-1=(n+1)!*(n+2)-1
et
1+2+2!+3*3!+...+n*n!+(n+1)*(n+1)!
= (n+1)!-1+(n+1)(n+1)!
= (n+1)*(1+n+1)-1
= (n+1)*(n+2)-1
= (n+2)!-1

Car
(n+2)!=1*2*3*...*n*(+1)*(n+2)
et
(n+1)!*(n+2)=1*2*3*...*(n+1)*(n+2)= (n+2)!

Dc Pn+1 est vraie pr tt n E N
Dc Pn est vraie pr n E N.