Exercice compliqué sur des fonctions, niveau Seconde vers la

[Mathusalem]

Salut,



La base du triangle serait 6 - x ?



f(x) = airé carré + aire triangle
f(x) = coté * coté + (B x h) / 2
f(x) = x * x + (B x h) / 2
f(x) = x² + [(6 - x) + (6 - x)] / 2
f(x) = x² + [6 - x + 6 - x] / 2
f(x) = x² + [12 - 2x] / 2
f(x) = x² + 6 - x.

C'est ça ou j'ai fais une (des) erreur(s) ?

C'est base FOIS hauteur, et non pas Base + Hauteur
Donc à partir de la 4è ligne, tu as additionné au lieu de multiplier.
Sinon le raisonnement pour la base du triangle est juste !

[Kim85]

Ah oui mince, merci de ton aide.

Donc ça donne :

f(x) = airé carré + aire triangle
f(x) = coté * coté + (B x h) / 2
f(x) = x * x + (B x h) / 2
f(x) = x² + [(6 - x) * (6 - x)] / 2
f(x) = x² + [36 - 6x - 6x + x²] / 2
f(x) = x² + [36 - 12x + x²] / 2
f(x) = x² + 18 - 6x + x²/2
f(x) = x² + 18 - 6x + 0,25x²
f(x) = 1,25x² - 6x + 18


(x²/2 = 0,25x² car x²/2 = (1x * 1x) / 2 = 0,5x * 0,5x = 0,25 x² ??)

Cette fois c'est la bonne ?

Edit :

J'ai développé pour la question 6, et je trouve f(x) = 1,5x² - 6x + 18.

Il y a donc une petite erreur au niveau du x² pour la question 4) - 5) :doh:

[Mathusalem]

Ah oui mince, merci de ton aide.

Donc ça donne :

f(x) = airé carré + aire triangle
f(x) = coté * coté + (B x h) / 2
f(x) = x * x + (B x h) / 2
f(x) = x² + [(6 - x) * (6 - x)] / 2
f(x) = x² + [36 - 6x - 6x + x²] / 2
f(x) = x² + [36 - 12x + x²] / 2
f(x) = x² + 18 - 6x + x²/2
f(x) = x² + 18 - 6x + 0,25x²
f(x) = 1,25x² - 6x + 18


(x²/2 = 0,25x² car x²/2 = (1x * 1x) / 2 = 0,5x * 0,5x = 0,25 x² ??)

Cette fois c'est la bonne ?

Edit :

J'ai développé pour la question 6, et je trouve f(x) = 1,5x² - 6x + 18.

Il y a donc une petite erreur au niveau du x² pour la question 4) - 5) :doh:

Tu as fait la faute là où j'ai marqué en rouge. Tu fais tes calculs trop vite ! Prends ton temps, et vérifie chaque ligne.

Je viens de voir ton raisonnement pour là ou tu as fait la faute : non ! / 2 n'est pas égal à 0.25 comme tu le penses.

x^2, c'est un nombre. Tu prends la moitié de ce nombre, c'est faire 0.5*ce nombre.

Si tu as 3*2 pommes, tu as 6 pommes. Si tu divises ton nombre de pommes en 2, tu fais 3*2 / 2 = 3, et non pas 3/2 * 2/2 = 1.5 pommes. La distributivité de la multiplication s'applique sur des entités distinctes :

c(a+b) = (ca + cb).
c(a*r + b*r) = la meme chose que c(a' + b')
= (c*a*r + c*b*r).

Dis-moi si ce n'est pas clair.

[Kim85]

Logiquement 0,5x² ce qui nous donne 1,5x² par la suite, je me suis trompé dans la façon de raisonner donc, plus précisement c'est à ce niveau là que le raisonnement était faux :
(x²/2 = 0,25x² car x²/2 = (1x * 1x) / 2 = 0,5x * 0,5x = 0,25 x² ??)
après pourquoi c'est faux je ne sais pas mais je suis conscient du fait que x² = 1x²/2 = 0,5x².
Au moins sur ce coup j'aurais appris qu'on a pas le droit de procéder comme je l'ai fais.

Merci encore pour ton aide,

Kim.

Edit : Ah j'avais pas vu ton edit j'ai écris le message en même temps, oui oui c'est clair.

[Mathusalem]

Plus précisément, tu peux réécrire tout nombre comme facteur (multiplication) de nombres premiers.

Par exemple, 676 = 2*2*13*13
Tu remarqueras que 13 est un nombre premier.

Alors, si tu fais 676/2
C'est comme faire (2*13*2*13) / 2

Ainsi, tu serais pour diviser chacun des 4 termes par 2.
Alors, selon toi :
2*13*2*13 / 2 =
Or, par la règle sur les fractions, on a que ceci équivaut à

ceci n'est pas ce que tu veux faire.

Il faut savoir ces deux règles pour jamais se planter :

(a+b)/c = (a/c + b/c)
(d*e)/c = ([d/c]*e = ([e/c]*d)

[Kim85]

Re-bonjoure / re-bonsoir,

J'ai terminé avec succès l'exercice, merci.

Mais là je me suis encore heurté à un exercice dans lequel je ne comprends rien :

Voilà l'énoncé et les questions :



(Pour la première fonction, il s'agit de : f(x) = x^3 + 20x² - 4x - 80)
(Pour la fonction du 2) a), il s'agit de : f(x) = (x - 2)(x + 2)(x + b)

En cours nous n'avions jamais fais ce type d'exercices !

On ne nous avais jamais "confronté" à des éléments supérieurs au carré pour les x...

Pour le 1) a), j'ai mis que les solutions étaient 1,5 et -1,5.

Et après... Je bloque totalement, on a jamais fais ça en cours ce qui fait que c'est ultra-dur.

En vous remerciant d'avance pour votre aide,

Kim.

[Mathusalem]

Salut.
Tes solutions pour la première équation sont fausses.
1.5 et -1.5 ne vérifient pas f(1.5) = f(-1.5) = 0.

En effet, si tu regardes la fonction, il faut un peu d'instinct :
x^3 + 20x^2 - 4x - 80

Si tu mets x = 2, tu as x^3 et -4x qui s'annullent mutuellement, puis tu remarques que 20x^2 - 80 aussi.
Si tu mets x = -2, tu as encore x^3 et -4x qui s'annullent mutuellement. et 20x^2 - 80 aussi.
Si tu mets x = - 20, alors x^3 et 20x^2 s'annullent mutuellement, puis tu remarques que -4x et -80 aussi.

Ainsi, tu as les 3 solutions qui annullent ta fonction.

Pour la a) En général, une fonction du 3ème degré aura 3 solutions (en général, tu verras ensuite quand ce n'est pas toujours le cas, quand tu seras à l'aise avec la factorisation etc..). Tout ce que tu peux dire, c'est qu'étant donné qu'une fonction de degré "n" à "n-1" bosses, alors cette fonction doit en présenter 2. Ce qui implique que si elle a croisé deux fois l'axe des x (ce qui caractérise une bosse) alors il doit y avoir forcément encore un endroit où elle coupe l'axe des x (pour la 2ème bosse -> fais un dessin pour te convaincre). Ainsi, tu conjectures qu'il existe 3 solutions.
Pour la b) Tu peux vérifier que -2, 2 et -20 (si il se voit) annulent la fonction car f(2) = f(-2) = f(-20) = 0.

Pour la 2a)
Il faut que tu réfléchisses... Tu as une fonction du 3ème degré, avec 3 solutions qui l'annulent.
Ainsi, tu peux écrire la fonction sous la forme
(x-sol1)(x-sol2)(x-sol3) = f(x)
Car f(sol1) = 0
f(sol2) = 0 aussi
f(sol3) = 0 aussi.
Donc en gros, ils te demandent simplement de développer l'expression donnée en 2a) et identifier les termes afin de trouver l'inconnue.
Ensuite, pour la 2b) tu as tout ce qu'il te faut dans ce que je viens de te dire.
Bonnes maths !

[Lostounet]

Salut, juste un petit raisonnement pour ton graphique:

Pour tracer cette jolie courbe, la calculatrice prend différentes valeurs pour x et place plusieurs points tels que (x ; f(x)) pour lui donner son allure.

On veut que f(x) soit nul, donc f(x) = 0, donc on cherche des points tels que (x ; 0). Ainsi, on veut déjà des points qui appartiennent à la représentation graphique de f, donc à la courbe représentative, et qu'ils aient des coordonnées telles que (x ; 0). Alors on ne peut regarder plus haut que l'axe des abscisses...!

Et comme on cherche des points qui lui appartiennent et appartiennent AUSSI à la représentation graphique de f, alors on doit chercher leurs intersections *sur* cet axe.

[Olympus]

En cours nous n'avions jamais fais ce type d'exercices !

Mais les techniques, je suis sur que si . Faut arrêter de se dire qu'au DS ne doivent figurer que les exercices déjà faits, cela suffit déjà qu'il y ait toujours des classiques très connus dans les DS . Et si tu raisonnes comme cela, tu n'avanceras jamais en maths .

Pour le 1) a), l'énoncé te demande le nombre de solutions, et pas les solutions . Le nombre de solutions correspond au nombre d'intersections avec la droite d'équation y=0, soit l'axe des x .

Pour b), bah comme ils le disent, tu vérifies par le calcul en remplaçant x par tes valeurs, puis tu regardes si effectivement cela donne 0 .

Pour le 2) a) Développe (x-2)(x+2)(x+b), puis procède par identification . Ou alors deuxième méthode : tu peux remarquer que 2 est racine évidente du polynôme , donc tu peux le diviser par en employant la division euclidienne ( vous avez sûrement déjà vu cela en 2nde ), donc tu auras où est un polynôme de degré 2 que t'auras trouvé avec la division euclidienne . Ensuite, tu remarqueras que -2 est racine évidente de , donc tu le diviseras par , donc au final t'auras où R(x) est un polynôme de degré 1 que t'auras trouvé avec la deuxième division euclidienne . Mais ce R(x) est égal à (x+b), tu résous l'équation et t'auras "b" .

pour le b), ben c'est assez "facile" pour un exercice de première ... f(x)=0 (x-2)(x+2)(x+b) = 0 x-2=0 OU x+2=0 OU x+b=0 ... tu termines .

[Mathx]

Mais cet exercice ne constitue pas, à mon sens, un exercice de première, loin de là

[Mathusalem]

Ou alors deuxième méthode : tu peux remarquer que 2 est racine évidente du polynôme , donc tu peux le diviser par en employant la division euclidienne ( vous avez sûrement déjà vu cela en 2nde ), donc tu auras où est un polynôme de degré 2 que t'auras trouvé avec la division euclidienne .

Dans mon explication plus haut, Kim, c'est précisément quand Q(x) n'admet pas de racines, i.e, n'est pas factorisable, que ta fonction du 3ème degré n'admettra pas 3 racines, mais une seule. Cela se passe si tu as une fonction telle que où Q(x) =
Si, parcontre, Q(x) admet une racine, alors ta fct du 3ème degré aura 2 racines. Cela se passe si tu as une fonction telle que . où x^2 = Q(x). Ici, 0 est une racine double ( tu peux factoriser en (x-2)(x-0)(x-0).

Le but de cet exercice est de te faire voir que l'on peut factoriser une fonction, alors on peut la décomposer en facteurs
où est plus petit que 0, i.e des polynôme de 2ème degrés non factorisables.
Si la fonction a autant de zéros que son degré (fonction de degré 3 qui a 3 zéros), alors il n'y a pas de termes de la forme ax^2 ... dans la factorisation. Si elle a un zéro de moins que son degré, alors il y a 1 terme sous forme (ax^2 + bx +c) tel que b^2 - 4ac < 0. etc...

Ainsi, tu peux "sentir" qu'une fonction de degré impair admettra toujours au moins 1 zéro. (une racine).

@Matx : Et alors ?

[Kim85]

J'ai réussi à tout finir grâce à votre aide.

J'ai attaqué un exercice encore plus difficile par la suite, résultat j'ai terminé à 2h15 du matin.

Un jour je serais bon en maths, yes I can.

Merci encore et à plus tard.