Exercice de la Taupe

[spyofdeath]

Bonjour à tous,
Je me permets de venir vous demander de l'aide sur un exercice que je dois résoudre. Vous reconnaîtrez probablement qu'il s'agit d'un exercice de l'Officiel de la Taupe! Comme il impossible (à ma connaissance) de dessiner des intégrales je vais vous le faire à l'écrit!
Ne soyez pas impressionnés par la longueur de l'énoncé, en l'écrivant avec de vraies intégrales et de vraies racines ça fait beaucoup moins lourd !
Pour ma part, j'ai essayé mais sans donner le moindre résultat, ceci étant, je pense qu'il peut être intéressent de passer par une fonction paramétrée avec x=t et y=f(t) puis la valeur absolue de f'(t) = (racine de x² + y²)
Malheureusement je ne peux pas vous en dire plus.
Merci d'avance à tous ceux qui se donneront la peine de me répondre :happy2: .

I)Soit f une appliction de classe C1 de [0,1] dans R telle que f(1)=L, où L est là longueur de la courbe du graphe de f.
- Montrer que L= (intégrale de 0 à1) de (racine de (1+f'²(t)))dt
- En déduire à l'aide d'une intégration par parties que
l'intégrale de 0 à 1 de f(t)dt est égale à l'intégrale de 0 à 1 de [(racine de 1+f'²(t)) - tf'(t)]dt
- quelque soit x dans [0,1], quelque soit t dans R on pose g(t) = (racine de 1 + t²) - xt ; montrer que g(t) supérieure ou égale à (racine de 1-x²). En déduire que l'intégrale de 0 à 1 de f(t)dt est supérieur ou égale à pi/4.
- Soit F continue sur [0,1], dérivable sur [0,1[ et telle que F(1) = intégrale de 0 à 1 de (racine de 1+F'²(t))dt. Montrer que l'intégrale de 0 à 1 de F(t)dt est supérieure ou égale à pi/4.
- Généraliser ce résultat à toute fonction de classe C1 sur [0,1[.

[nekros]

Salut

SI f est une courbe paramétrée de classe définie sur , alors sa longueur est donnée par :

[spyofdeath]

Okay mais est-ce que tu penses que c'est nécessaire de le démontrer ou c'est admis ?

[nekros]

Je pense qu'il faut l'admettre car la preuve est assez longue ! (mais pas très compliquée)

[spyofdeath]

okidac, merci nekros, jvais essayer comme ça !

[nekros]

SI tu définies la courbe paramétrée comme tu as fais, ça marche :lol4: