Analyse Complexe

par **Michel11** » 15 Mar 2007, 13:03

bonjour mon prof m'a donné un exo a faire, et je suis bloqué à partir de la question 3)b) "deuxieme méthode..."

c'est un exo en analyse complexe 3e année de Licence...
j'espere que quelqu'un pourra m'aider

Merci d'avance

par **mathelot** » 15 Mar 2007, 14:48

salut,

3b)

car f est holomorphe.

en ayant dérivé le produit.

avec un peu de chance,

est harmonique, donc:

mais:

comme on le voit en développant localement en série entière.

d'où:

d'où si

, alors f=constante d'après 2.

3) supposons Re(f)=k sur U.

en dérivant par rapport à

:

or:

car f est holomorphe.

donc f est constante sur U.

4)

en dérivant par rapport à z:

donc f est constante sur U.

PS: voilà comment je perçois les notations:

et

sont deux opérateurs formels , définis à partir des dérivées
partielles de f,

et

, même quand la fonction f de deux variables réelles x et y n'est pas fonction de z et de

, c'est à dire même quand f n'est pas holomorphe et sa conjuguée non plus. Ceci dit, ces notations sont bien pratiques car si f est holomorphe,

et