Equation differentielle

[Matiou83]

Salut, j'aimerai avoir la solution d'une équation différentielle de ce type la:



y''(x) - my(x) = 0
avec m une constante
j'avais penser à r²-m²=0
d'où r = plus ou moins m avec y= Aexp(mx) + Bexp(-mx)

mais je ne suis pas du tout sur de ce resultat, j'aimerai donc avoir une petite explication sur la resolution de cette équation différentielle
merci d'avance

[fahr451]

oui c'est ça

tu veux la preuve ?

[Matiou83]

oui c'est ça

tu veux la preuve ?

s'il te plait, enfin quelque lignes histoire que ca me fasse ressortir des vieux souvenirs...
merci

[fahr451]

si on ne sait rien on peut tout retrouver

y0 (x) = exp (mx) est solution

on cherche toutes les sol sous la forme y(x) = z(x) y0(x) ce qui est possible car y0 ne s annule pas (poser z = y/y0) avec z deux fois dérivable

on écrit l équa diff en z d'ordre deux sans le terme en z on pose h = z'

équa diff linéaire d'ordre 1 en h on résoud ( tu sais faire j 'espère)

on trouve donc z' puis z puis y

(méthode d e l 'abaissement d e l'ordre valable pour toute équ diff linéaire dont on connait une sol de l équation sans second membre)