Endomorphisme

[benoist--77]

bonjour j ai une question que je n arrive pas a faire

G est un sous groupe dense de (R,+).Soit g un morphis croissant de (G,+) dans (R,+).pour tout reel x,on pose f(x)=sup{g(t),t appartenant a l intersection entre G et [-l infinie,x]}

4)montrer que f est un endomorphisme continue du groupe(R,+)

je rajoute les question precedentequi peuvent aider surment

2)Justifier l existence de l application f:R->R montrer qu elle est croissante et est un prolongement de l application g
3a)enfin on se donne un reel strictement positif epsilon
montrer en utilisant la densite de G dans[0,a] avec a donner dans G interR+*, qu il existe x,y dans G tels que xen deduire qu il existe alpha >0 tel que
t appartenant à G inter[-alpha;alpha]-> valeur absolut g(t)<= epsilon

3b) prouver alors que pour tout (x,y) de R Iy-xI<=alpha/2->If(y)-f(x)I<=epsilon

(je ne suis pas sur de ma question 3b) si vous pourriez aussi m aider
merci d avance

[benoist--77]

je pense que je dois me servir de l uniforme continuite mais par contre je seche completment sur la question ou je dois montrer que f est un endomorphisme