équation matricielle M^p = T

[acteon]

Bonjour, p est fixé et je dois chercher les matrices carrées de taille 2 à coeff dans C telles que M^p = T où T=(1 1) (0 1) (matrice triangulaire supérieure dont les coeff non nuls valent 1).
J'ai plusieurs pistes:
- poser M=(I+ N/p) où N est la matrice avec des coef nuls sauf en haut à droite qui vaut 1: ça fonctionne par binome puisque N^k =0 pour k>=2
- chercher M sous la forme (a b) (0 a) et alors il faut et suffit que a^p = 1 et b=1/(p a^p-1)
mais je n'arrive pas à être sûr d'avoir toutes les solutions. il faut peut-être utiliser que M^p = 0 est impossible si p>=2 car c'était une question précédente.
A priori on peut trouver toutes les solutions.

Merci si vous avez des idées!

[acteon]

bien sûr..X commute avec T donc le sous-espace propre associé à 1 est stable, la première colonne est de la forme (a,0)..on a X de la forme (a ,b) (0,c)...je réfléchis si c doit etre egal à a..

[acteon]

oui en utilisant XN=NX on a assez facilement c=a. Il y a peut-être mieux cela dit.

[Rdvn]

Bonsoir
Quel est X ?

Peut être utile pour simplifier la forme d'écriture de M :
M et T commutent :
M^(p+1) = M^p M = M M^p
et avec M^p = T :
TM = MT

cela dit qu'un autre membre du forum n'hésite pas à suivre ce sujet
(je n'aurai aucune disponibilité ces prochains jours)

[acteon]

désolé , M et X désignent la même chose, l'inconnue.
Tout est ok pour moi, désolé pour le manque d'attention et merci