Suite numerique

[Ich]

Bonjour
J ai besoin de votre aide Dans cet exercice
Un+1=sqrt(1+Un)
U0=0
Montrer que (Un) converge vers l
J ai de montrer que (Un) est monotone mais je me bloque
Pouvez vous m aider svp

[lyceen95]

Tu dis que tu as démontré que la suite était monotone, (ce serait bien que tu recopies cette démo, pour vérification)
Mais si tu as démontré qu'elle était monotone, c'est que tu avais une idée derrière la tête, quelle idée ?
Et qu'est-ce qui t'empêche de pousser cette idée plus loin ?

Une autre proposition, c'est de permuter les questions : on te demande de montrer que la suite converge, puis de trouver la limite. Au brouillon, tu peux déjà chercher la limite. Ca va t'obliger à te concentrer sur l'exercice, ça va aussi t'aider à bien faire le tour de la question.... et ça va peut-être te donner la méthode pour montrer que la suite converge.

[Black Jack]

Bonjour,

Si Un > 0, alors U(n+1) > 0 car ...
et comme U(0) = 0, on conclut que tous les Un sont >= 0
***
Si la suite converge c'est vers une valeur L telle que on a L = sqrt(1+L)
et comme L > 0 (puisque tous les Un sont >= 0, on a L² = 1+L (avec L > 0) --> L = (1 + sqrt(5))/2
****
Si 0 <= Un < (1 + sqrt(5))/2
1 <= 1 + Un < (3 + sqrt(5))/2
sqrt(1) <= sqrt(1 + Un) < sqrt((3 + sqrt(5))/2)
1 <= U(n+1) < sqrt((3 + sqrt(5))/2)

Or sqrt((3 + sqrt(5))/2) = (1 + sqrt(5))/2 (facile à montrer en élevant au carré ...)
--> 1 <= U(n+1) < (1 + sqrt(5))/2

Donc si 0 <= Un < (1 + sqrt(5))/2 est vrai pour une valeur k de n, c'est encore vrai pour n = k+1 (1)
Comme 0 <= Un < (1 + sqrt(5))/2 est vrai pour n = 0, par (1) : 0 <= Un < (1 + sqrt(5))/2 est vrai pour tout n de N (2)
***
Soit f(x) = sqrt(1+x) - x pour x dans [0 ; (1 + sqrt(5))/2]
On étudie les variations de f ... et on conclut que f est strictement décroissante.
f((1 + sqrt(5))/2) = 0

Donc :
f(x) >= 0 pour x dans [0 ; (1 + sqrt(5))/2]
f(Un) >= 0 pour Un dans [0 ; (1 + sqrt(5))/2] et donc sqrt(1+Un) - Un >= 0, sqrt(1+Un) > Un (la suite Un est croissante) (3)

(2) et (3) : La suite est croissante et majorée par (1 + sqrt(5))/2, elle est donc convergente... et elle converge vers (1 + sqrt(5))/2



Edit : Pas vu le message de lyceen95 avant d'envoyer le mien.

[GaBuZoMeu]

Le questionneur n'aura pas besoin de réfléchir sur la méthodologie proposée par lycéen95, puisque BlackJack fait l'exercice à sa place ...
BlackJack sait faire l'exercice. Bravo, il aura un bon point.

[Black Jack]

Le questionneur n'aura pas besoin de réfléchir sur la méthodologie proposée par lycéen95, puisque BlackJack fait l'exercice à sa place ...
BlackJack sait faire l'exercice. Bravo, il aura un bon point.

Merci, je le range bien à l'abri dans un tiroir avec un joli noeud autour.

[Ich]

Merci beaucoup pour la réponse bien détaillée j ai tous compris