Suite numérique

[cendrillon]

Bonsoir,
Je suis en master de mathématiques, et en révisant je suis tombée sur un exercice, qui semble facile à première vue, mais qui me pose problème, je n'arrive pas à le résoudre : voilà l'énoncé :
"On pose fn(x)= -1+ x + x² + ... + x^n.
Montrer que pour n >= 2, il existe un unique xn appartenant à ]0,1[ tel que fn(xn)=0.
Montrer que la suite (xn) converge et déterminer sa limite. "

Merci pour votre aide !

[Jota Be]

Bonsoir,
Je suis en master de mathématiques, et en révisant je suis tombée sur un exercice, qui semble facile à première vue, mais qui me pose problème, je n'arrive pas à le résoudre : voilà l'énoncé :
"On pose fn(x)= -1+ x + x² + ... + x^n.
Montrer que pour n >= 2, il existe un unique xn appartenant à ]0,1[ tel que fn(xn)=0.
Montrer que la suite (xn) converge et déterminer sa limite. "

Merci pour votre aide !

Bonsoir,
Je pense qu'il faut montrer que admet une unique solution dans [0;1], mais j'ai pas le niveau pour aller plus loin ^^
Quoique, peut-être qu'une récurrence est bienvenue

[Le_chat]

Salut. Que peux-tu dire de la monotonie de fn, à n fixé?

fn(0)=?
fn(1)=?

Ça devrait t'aider à faire la question 1.

Que peux tu dire de fn par rapport à fn+1? Qu'en est-il alors de la monotonie de xn? Et comme ça on montre que ça converge.

[cendrillon]

Salut. Que peux-tu dire de la monotonie de fn, à n fixé?

fn(0)=?
fn(1)=?

Ça devrait t'aider à faire la question 1.

Que peux tu dire de fn par rapport à fn+1? Qu'en est-il alors de la monotonie de xn? Et comme ça on montre que ça converge.

Je vois pas trop où tu veux en venir ?
Pourrais tu m'éclairer ? Merci!

[cendrillon]

Salut. Que peux-tu dire de la monotonie de fn, à n fixé?

fn(0)=?
fn(1)=?

Ça devrait t'aider à faire la question 1.

Que peux tu dire de fn par rapport à fn+1? Qu'en est-il alors de la monotonie de xn? Et comme ça on montre que ça converge.

Pour la question 1, on pourrait appliquer le théorème des valeurs intermédiaires ?
f croissante, fn(0) 0 dc il existe une unique solution à l'équation fn(xn)=0 ?
Ca pourrait correspondre à une réponse plausible ?

[Le_chat]

Pour la question 1, on pourrait appliquer le théorème des valeurs intermédiaires ?
f croissante, fn(0) 0 dc il existe une unique solution à l'équation fn(xn)=0 ?
Ca pourrait correspondre à une réponse plausible ?

C'est non seulement plausible mais correct.

[cendrillon]

C'est non seulement plausible mais correct.

Ok ! Merci !
Et pour la question suivante ?

[fourize]

Tu peux poser ;
- Étudier la monotonie de la suite :

[cendrillon]

Tu peux poser ;
- Étudier la monotonie de la suite :

Je comprends pas comment y arriver

[fourize]

Je comprends pas comment y arriver

Le but est de montrer que la suite est :

- soit croissante et majorée, donc la suite est convergente.
- soit décroissante et minorée, donc la suite est convergente.
Et dans tout les cas, la limite de ta suite sera la solution.

Donc pour ça, on fixe un n, et étudie la convergence de la suite ,
et on commence par
et on étudie la fonction g pour voir si est croissante ou décroissante.

Tu comprends mieux maintenant ?

[cendrillon]

Le but est de montrer que la suite est :

- soit croissante et majorée, donc la suite est convergente.
- soit décroissante et minorée, donc la suite est convergente.
Et dans tout les cas, la limite de ta suite sera la solution.

Donc pour ça, on fixe un n, et étudie la convergence de la suite ,
et on commence par
et on étudie la fonction g pour voir si est croissante ou décroissante.

Tu comprends mieux maintenant ?

En quoi l'étude de g nous aidera pour la convergence de xk ?

[fourize]

En quoi l'étude de g nous aidera pour la convergence de

Supposons par exemple que g(x) < 0 pour tout x, ( en regardant le tableau de variation ), ceci veut dire
, ce que veut dire que est décroissante. et si on trouve un minorant, ( en regardant le tableau de variation ) on peut conclure que est une suite convergente !

Et inversement pour le cas de croissante.

Tu peux voir plus de detaille : Theoreme de point fixe

[cendrillon]

Supposons par exemple que g(x) < 0 pour tout x, ( en regardant le tableau de variation ), ceci veut dire
, ce que veut dire que est décroissante. et si on trouve un minorant, ( en regardant le tableau de variation ) on peut conclure que est une suite convergente !

Et inversement pour le cas de croissante.

Tu peux voir plus de detaille : Theoreme de point fixe

Et comment construire le tableau de variation de g ? On n'a pas assez d'informations.

[fourize]

Si !

g'(x) est toujours positive pour tout x de ]0,1[, donc g est croissante.

Par contre, je viens de me herter à un autre problème. ce que le signe de g change dans l'intervalle ]0,1[. en effet limg(0) = - 1 et limg(1) = n-2 > 0 . ce qui veut dire qu'on ne peut pas vraiment conclure avec cette méthode :mur:

[fourize]

En regardant plus haut, il y a Le_Chat qui te proposer d'utiliser une autre méthode, qui m'a l'air un peu similaire que celui que je te proposais mais en ce basant sur . ( mais je suis pas sur de son aboutissement )

,

Apres, il demande la monotonie de ? :dodo:

[Carpate]

En regardant plus haut, il y a Le_Chat qui te proposer d'utiliser une autre méthode, qui m'a l'air un peu similaire que celui que je te proposais mais en ce basant sur . ( mais je suis pas sur de son aboutissement )

Apres, il demande la monotonie de ? :dodo:

Evaluons l'accroissement de entre et

D'après :


étant notamment croissante sur ], : suite décroissante
suite décroissante et minorée, converge.

[Le_chat]

Ben la SUITE de fonctions (fn) est croissante (c'est à dire, fn+1;)fn)

et les FONCTIONS fn sont toutes croissantes.

Avec ça on montre en deux lignes que xk est décroissante, à toi de le faire.

Donc xk >0, xk décroit, xk admet une limite l.

Pour la limite, tu peux dire que x+...+x^n=(1-x^(n+1))/(1-x) -1 (suite géometrique), avec ça tu conclus sans problème pour trouver l=1/2.

[cendrillon]

Ben la SUITE de fonctions (fn) est croissante (c'est à dire, fn+1;)fn)

et les FONCTIONS fn sont toutes croissantes.

Avec ça on montre en deux lignes que xk est décroissante, à toi de le faire.

Donc xk >0, xk décroit, xk admet une limite l.

Pour la limite, tu peux dire que x+...+x^n=(1-x^(n+1))/(1-x) -1 (suite géometrique), avec ça tu conclus sans problème pour trouver l=1/2.

Pour montrer que (fn) est croissante, on fait comme il a fait carpate ?

[Dinozzo13]

Bonsoir,
Je suis en master de mathématiques, et en révisant je suis tombée sur un exercice, qui semble facile à première vue, mais qui me pose problème, je n'arrive pas à le résoudre : voilà l'énoncé :
"On pose fn(x)= -1+ x + x² + ... + x^n.
Montrer que pour n >= 2, il existe un unique xn appartenant à ]0,1[ tel que fn(xn)=0.
Montrer que la suite (xn) converge et déterminer sa limite. "

Merci pour votre aide !

Salut !

Pour la première question, on peut penser au théorème des valeurs intéermédiaires ou même à la récurrence :++:
Ensuite, pour la seconde question :
donc ,
sachant que .
Si on pose alors donc .
Par suite, s'annule deux fois dans tel que .
La suite est donc strictement décroissante.
Or cette dernière étant minorée par, tu peux en déduire qu'elle converge.
Sachant que , on a :
donc .

:+++:

[cendrillon]

Salut !

Pour la première question, on peut penser au théorème des valeurs intéermédiaires ou même à la récurrence :++:
Ensuite, pour la seconde question :
donc ,
sachant que .
Si on pose alors donc .
Par suite, s'annule deux fois dans tel que .
La suite est donc strictement décroissante.
Or cette dernière étant minorée par, tu peux en déduire qu'elle converge.
Sachant que , on a :
donc .


:+++:

Merci pour ta réponse! Mais je ne comprends pas d'où sort le "2x-1" ? Fausse alerte j'ai compris !!!