Suites numeriques et nb d'or

[d.vanboxs]

Un exercice qui donne du fil a retordre ..
On appelle suite de fibonacci la suite (Un) definie de la facon suivante :
Uo=1
U1=1
et pour tout entier naturel n , Un+2=U(n+1)+Un
On definit alors la suite (Vn) pour tout entier naturel n :Vn=Un+1/Un
°°°°Montrer que la relation verifie la relation de recurrebce
V(n+1)=1+(1/Vn)
°°°° Monter que le nombre Q =(1+rac5)/2 verifie la relation
Q²-Q=1
°°°°Monter pour tout entier naturel n , l'egalité :
V(n+1) - Q= ((Q-1)(Q-Vn))/(Vn)
et en deduire |V(n+1)-Q|En deduire alors |Vn-Q|< ou egale à (0.7)^n
De quel nombre se rapprochent les termes de la suite (Vn)
lorsque n devient tres grand??
Controler ce resultat en comparabt les valeurs arrondies a 10^-9 pres de Q et de V30



Merci pour toute l'aide que vous pourrez me fournir Et bon courage ..
Moi j'en ai certainement pas eu assez ...

[Elsa_toup]

Bonsoir,

1).

2). Il n'y a qu'à remplacer Q par le nombre que l'on te donne et trouver 1. Je te laisse faire.

3). Je pars du membre de droite : .
D'après 2, Q²-Q = 1, donc la fraction ci-dessus s'écrit:.

[d.vanboxs]

Pour le 2 pas de souci j'y suis arrivé merci ..
mais quelqu'un pourrait t'il m'aider pour les suivantes c'est a dire lorsqu'on parle de valeurs absolu
°°°°Montrer pour tout entier naturel n , l'egalité :
V(n+1) - Q= ((Q-1)(Q-Vn))/(Vn)
et en deduire |V(n+1)-Q|En deduire alors |Vn-Q|< ou egale à (0.7)^n
De quel nombre se rapprochent les termes de la suite (Vn)
lorsque n devient tres grand??
Controler ce resultat en comparant les valeurs arrondies a 10^-9 pres de Q et de V30

Merciii ^^

[Elsa_toup]

.
, car clairement u_n est croissante.
Donc , et .
(Q-1) 0,618, donc .

Donc (peu importe le sens en valeur absolue).

Puis, par récurrence:
, donc .

On suppose que c'est vrai pour , c'est-à-dire qu'on a bien .
Alors .
C'est vrai au rang (n+1).
On l'a montré par récurrence.

Quand n devient grand, la limite de (0,7)^n, comme 0,7 < 1, est 0.
Donc va tendre vers Q.

Pour les valeurs approchées, il n'y a qu'à calculer...