Equation différentielle

[Kaneki]

Bonjour, j'ai un soucis avec un exercice d'équation différentielle.
Nous avons l'équation (E): (t^2)x' + 2x =3
Je devais l'écrire sous la forme x'(t) = a(t)x(t) +b(t)
J'ai donc trouvé : x' = (- 2/t^2)x + 3/t^2
On nous demande ensuite de se placer dans l'intervalle I=]0;+infini[
Et d'écrire l'équation homogène (H) associé à (E). C'est ici que je bloque car je ne comprend pas ce qu'est une equation homogène, dans mon cours il semble juste faire disparaître le b(t) et sur internet se serait une equation égale à zéro.
Et même après, on nous demande de trouver une primitive de a(t) donc de -2/t^2, ici j'ai trouvé
A(t) = 2/t
Mais on nous demande alors de résoudre (H) et là biensur je bloque car je n'ai pas trouver son expression.
J'ai du mal avec les questions suivante également mais j'aimerais déjà débloquer celles-ci.

[hdci]

C'est ici que je bloque car je ne comprend pas ce qu'est une equation homogène, dans mon cours il semble juste faire disparaître le b(t) et sur internet se serait une equation égale à zéro.

Bonjour,

L'équation homogène est bien une équation "égale à zéro"... mais attention, tout dépend de la façon d'écrire la fonction ! Il faut être dans le cas "toutes les inconnues sont à gauche et tout le reste est à droite".

Vous avez ici l'équation x'=a(t)x + b(t), c'est-à-dire en fait (l'inconnue étant x avec sa dérivée), x'-a(t)x=b(t) et c'est cette équation qu'on "rend homogène" en annulant le terme de droite, c'est-à-dire x'-a(t)x=0.

Donc votre cours a raison, tout comme ce que vous avez lu sur internet. C'est juste la façon d'écrire l'équation initiale qui vous a perturbé.

Pour la suite : soit vous trouvez "une solution évidente" à H et les solutions sont alors cette solution "particulière" plus la solution générale de l'équation homogène, soit vous utilisez la méthode de la "variation de la constante" pour trouver la solution particulière

[Kaneki]

Je vois, merci j'ai donc l'expression de mon équation homogène. Avez-vous une méthode de résolution car je ne vois pas comment commencer.

[redafadil35]

bonjour, je sait que c'est pas trop l'endroit mais je n'arrive pas a créer un espace,
mais je voulais juste savoir la dérivé de x sur exponentielle de x
je sait pas pourquoi mais je ne la trouve pas sur internet

[Kaneki]

Bonjour, tu dois probablement utiliser la formule (u'v - v'u)/v^2. Sachant que la dérivé de exp(x) = exp(x)

[hdci]

Je vois, merci j'ai donc l'expression de mon équation homogène. Avez-vous une méthode de résolution car je ne vois pas comment commencer.

Vous n'avez donc pas vu la méthode de variation de la constante ?
Vous trouvez une solution générale de l'équation homogène de la forme où F est une fonction et lambda une constante.

POur trouver une solution particulière, vous considérez lambda non comme une constante, mais comme une fonction, et vous dites que est une solution particulière : vous injectez cela dans l'équation H, il y a beaucoup de simplifications car vous obtenez une expression de , il n'y a plus qu'à en trouver une primitive (et comme c'est une solution particulière, c'est juste une primitive sans notion de constante ajoutée).

Ici, il y a plus simple : avec

vous pouvez remarquer que les deux fractions sont "identiques à une constante multiplicative près", donc si x' était nulle, x pourrait être cette constante... (en général, cela peut être une bonne idée de chercher "une solution particulière" avec des fonctions très simples de type constante ou polynôme du premier degré)