Recurrence terminale

[Orelie22]

Svp un exo de récurrence m'a achevé: c'est l'exercice 6

[mathelot]

bonsoir
charge ton énoncé sur casimages.com et crée un lien sur le forum en direction de l'énoncé,
ou alors copie l'énoncé à la main.

[Orelie22]

Soient a et b deux nombres réels. Une suite est dite arithmetico géométrique si elle vérifie la relation Un+1= a Un +b pour tout entier naturel b. Démontrer par récurrence que le terme général de la suite U est donné pour tout entier naturel par :
Un= a^n (Uo - b/(1-a) ) + b/(1-a)


Alors d'habitude j'arrive bien en recurrence mais là c'est un peu extrême comme niveau pour moi.
Je n'arrive même pas à faire l'initiation...
Voilà merci d'avance pour vous retour

[mathelot]

pour l'initialisation, remplace n par 0 (avec )

[Orelie22]

Uo=1*(Uo- b/(1-a)) +b/(1-a) = Uo
Effectivement je n'avais pas simplifié a^o merci.

[Orelie22]

Pour l'hérédité: supposons que la propriété à prouver est vrai au rang n. Montrer que la propriété est vrai au rang n+1.
Un+1 = a*a^n ( Uo-b/(1-a))+b/(1-a)
J'ai donc a*Un mais pas +b

[mathelot]

Considère l'égalité

. remplace u_n par l'expression récurrente (au rang n)

tu dois avoir un terme qui se calcule.

PS: avec

[mathelot]

Pour l'hérédité: supposons que la propriété à prouver est vrai au rang n. Montrer que la propriété est vrai au rang n+1.
Un+1 = a*a^n ( Uo-b/(1-a))+ab/(1-a)+b
J'ai donc a*Un mais pas +b

[Orelie22]

Considère l'égalité

. remplace u_n par l'expression récurrente (au rang n)

tu dois avoir un terme qui se calcule.

PS: avec

C'est à dire un terme ab/(1-a) ??
En tout cas, absolument rien dans l'énoncé

[mathelot]

Pour l'hérédité: supposons que la propriété à prouver est vrai au rang n. Montrer que la propriété est vrai au rang n+1.
Un+1 = a*a^n ( Uo-b/(1-a))+ab/(1-a)+b
J'ai donc a*Un mais pas +b

Je t'ai indiqué en rouge ce qui n'allait pas dans ton calcul.
Puis réduis la somme ab/(1-a)+b

[Orelie22]

Oui j'ai bien pris note de ces modifications mais j'arrive tous de même à : Un+1 = a*a^n ( Uo-b/(1-a))+ab/(1-a)+b. Et non ua*a^n ( Uo-b/(1-a))+b/(1-a)+b
Il y a peu être une simplification qui m'a echappée...

[mathelot]

Oui j'ai bien pris note de ces modifications mais j'arrive tous de même à : Un+1 = a*a^n ( Uo-b/(1-a))+ab/(1-a)+b. Et non a*a^n ( Uo-b/(1-a))+b/(1-a)+b
Il y a peu être une simplification qui m'a echappée...

i) il faut réduire a.a^n par un calcul sur les exposants

ii) il faut additionner ab/(1-a)+b en réduisant au même dénominateur 1-a

NB: la formule de récurrence au rang n+1 s'écrit

[Orelie22]

Effectivement cela se simplifié en (ab+b-ab)/(1-a) donc b/(1-a) merci beaucoup pour votre aide.