Symétries

[ParpaingLiquide]

Bonjour,

Quelle est la méthode pour montrer qu'une réflexion dans le plan se fait par rapport à une droite Dθ = Vect{cos(θ/2) , sin(θ/2))} ?

J'ai essayé d'utiliser les valeurs propres de la matrice de rotation (cos(θ) sin(θ), -sin(θ) cos(θ)) mais je n'aboutis pas...


Merci d'avance.

[Mateo_13]

Bonjour,

J'ai fait des erreurs dans les conseils donnés. Désolé.

Cordialement,

[ParpaingLiquide]

En effet je parlais bien de l'axe de la symétrie.

Le spectre de la matrice d'une réflexion S est Sp(S)={1,-1}

En cherchant les espaces propres je trouve que Ker(S-Id) = Vect{(1, 1/sin(θ)*(cos(θ)-1)} = Vect{sin(θ),cos(θ)-1}
Et Ker(S+Id) = Vect{sin(θ),cos(θ)+1}, qui sont bien orthogonaux entre eux.

Le souci c'est que je ne vois pas comment transformer l'une de ces deux droites en Dθ = Vect{cos(θ/2) , sin(θ/2))}, vous auriez un conseil ou une indication à me donner ?

Merci pour votre réponse.

[GaBuZoMeu]

Je suppose que tu t'es trompé dans l'écriture de ta matrice et qu'il s'agit en fait de



Tu as alors dû faire des erreurs de signe dans le calcul de tes vecteurs propres. Vérifie.

Et puis, une fois que tu as les bons vecteurs propres pense à utiliser les formules de doublement de l'arc pour exprimer les fonctions trigonométriques de en fonction de celles de .

[ParpaingLiquide]

C'est bon j'ai trouvé mon erreur ! Merci beaucoup.

[GaBuZoMeu]

Avec plaisir.