DM sur la derivation

[Oggyg]

Bonjour ,madame ou monsieur...

J'ai un problème au niveau de mon devoir de mathématique sur la dérivation:

Soif f la fonction définie sur ]2;+infini [ par f(x)=x+2016/2x-4 et soit Cf sa courbe représentative dans un repère .

1.Étudier les variations de la fonction f sur ]2;+infini[.
2.Étudier le signe de la fonction f sur ]2;+infini{.
3.Tracer la courbe cf
unités graphiques : 1 cm en abscisse et 0.01 cm en ordonnée
4.Expliquer pourquoi les points de Cf à coordonnées entières ont leurs abscisses entre 3 et 3000.
5.Compléter l'algorithme suivant,qui affiche les points à coordonnées entières de Cf:

Variables : i est un nombre entier naturel.
A est un nombre réel
Pour i allant de ..... à .....
A prend la valeur i+2016/2i-4
Si .............
Alors Afficher"("
Afficher......
Afficher";"
Afficher......
Afficher")"
Fin si
Fin pour
Fin
6.Écrire cet algorithme sur Algobox ou sur Python et indiquer tous les points à coordonnées entier de Cf.

J'ai fait la première question :
Donc on a F(x) =x+2016/2x-4
on fait donc la formule F(x)=u/v = (u'v-uv')/v au carré
u(x)=x+2016
u'(x)=1
v(x)=2x-4
v'=2

donc [1*(2x-4) ] - [(x+2016)*2] /(2x-4)au carré
=2x-4-(2x+4032) / (2x-4)au carré
=2x-4-2x-4032/(2x-4)au carré
=-4-4032/(2x-4)au carré
=-4036/(2x-4)au carré
donc on remarque qu'elle est forcement strictement négative car un nombre negatif/ par un positif...(un carré est tjrs positif )
puis j 'ai fait mon tableau de signe de f'(x) avec un seul signe : - entre intervalle ]2;+infini[ et bien sur le fait que 2 est un nombre interdit pour cette fonction ; puis dessous j'ai fait une flèche décroissante pour f(x)

Donc déjà je ne suis vraiment pas sur pour la premier et de plus a partir de la deuxième question je comprends pas comment faire et je suis donc bloqué ...
Je m'excuse pour la longueur je n'ai pas réussi à le mettre en pièce jointe
Merci d'avance.

[mathelot]

bonsoir,
l'expression de la dérivée se simplifie par quatre:



ok pour la question 1.

Question 2

x est strictement supérieur à 2. Que peut on dire du signe de x+2016 et du signe de 2x-4=2(x-2) ?

Question 4
On peut calculer la différence , puis la majorer strictement par 1/2.
sur l'intervalle où l'on a:

f(x)-1/2 < 1/2

il n'y a plus de points de la courbe à coordonnées entières.

[Oggyg]

Je vous remercie pour votre aide.

On peut dire que x+2016 et 2x-4 sont des fonctions affines ( ax+b)
Donc je résous l'équation x+2016=0
x=-2016
et
2x-4=0
x=2
pour le tableau de signe , doit-on tenir compte de l'intervalle ]2.+infini[ ?

[mathelot]

pour le tableau de signe , doit-on tenir compte de l'intervalle ]2.+infini[ ?

oui, il faut en tenir compte.

Question 2
x>2 implique x+2016 > 2018 > 0

Question 4
Il n'ya pas de points à coordonnées entières sur l'intervalle
Question 5
je trouve deux points à coordonnées entières A(4;505) et B(2020;1)
(j'ai une démonstration d'arithmétique niveau TS spé math)

[mathelot]

On va démontrer que les seuls points à coordonnées entières de la courbe C_f ont pour coordonnées (2020;1)
et (4;505):

soit n un entier naturel. Soient a et b deux entiers naturels , on note a|b pour "a divise b"

Si (n;f(n)) est un couple de NxN alors:

2(n-2)|(n+2016)

2|(n+2016)

donc n est pair

On pose n=2m où m est un entier naturel.

4(m-1)|(2m+2016)

2(m-1) | (m+1008)

2|m

m est pair. on pose m=2k

2(2k-1)|(2k+1008)

(2k-1)|(k+504)

mézalor
(2k-1)|(k+504) et (2k-1)|(2k-1)

(2k-1)|(2k+1008)

2k-1 divise la différence entre 2k+1008 et 2k-1:
donc (2k-1)|(2k+1008-2k+1)

(2k-1)|1009

1009 est un entier naturel premier.

donc 2k-1=1 soit k=1 soit n=4
ou 2k-1=1009 soit 2k=1010 soit n=4k=2020.

réciproquement (4;505) et (2020;1) sont deux points de la courbe C_f à coordonnées entières.

On peut vérifier ces résultats via un programme Python.

[mathelot]

Démontrons qu'il n'y a pas de points de la courbe à coordonnées entières dans l'intervalle ]2020;+oo[:

on a

si f(x) est à une distance de moindre de 1/2, alors f(x) ne peut être entier.

on résout l'inéquation






donc il n'y a pas de points à coordonnées entières sur l'intervalle ]2020;+oo[

[Oggyg]

Bonjour et merci beaucoup pour votre aide;

Pour la question 2 j'ai donc fait le tableau de signe tout d'abord sans l'intervalle pour ensuite prendre que les signes de l'intervalle ]2;+infini[ et j'ai trouvé que des signes + donc c'est positif entre 2 et +infini
Je m'excuse si c'est difficile à comprendre..


Après le problème c'est que je ne comprends pas comment on peut faire le graphique de cette courbe avec en abscisse 1 cm et en ordonnée 0.01cm car par exemple pour x=4 on a y= 505 ce qui reste une très grande valeur et du coup je suis perdue ...

Après pour les autres questions le problème c'est que je suis juste en première et ce n'est pas forcément mon niveau même si j'arrive à comprendre certains calcules que vous me proposer...

[mathelot]

Pour l'axe y'oy, on a comme echelle ; 0,01 cm comme unité, soit 100 pour 1 cm, ce qui fait pour 505:5,05cm.

[Oggyg]

Re et merci beaucoup
J'ai réussis la courbe et elle est bien comme décrite dans les différents tableaux...

Donc pour la question 4 je vois pas vraiment comment faire car vous me parlé de un intervalle ]2020+infini[
ou oui effectivement il n'y a pas de nombres entiers après 2020.
2020+2016/2*2020-4=1
puis après par ex ;
2021+2016/2*2021-4= 4037/4038

Mais moi on me dit que sur 3 et 3000 les points de Cf on une coordonnée entier alors que 3000 "n'as pas un nombre entier comme y pour cette fonction" et donc ça serait justement plutôt entre 3 et 2020
Je m'excuse je sais pas comment le dire ...
Pour justifier 3000+2016/2*3000-4= 1254/1499

Voila pourquoi je suis encore une fois bloqué ...

[Oggyg]

je viens de vérifier et oui il n'y a que 4 et 2020 qui ont des y entiers et donc ça remet tout en cause je suis totalement perdue

[mathelot]

On a f(2020)=1
Comme f est décroissante positive pour x>2020 0<f(x) < 1 donc il n'y a pas d'ordonnee entière de points de la courbe sur] 2020;+oo[. A fortiori pas de points à coordonnées entières sur l'intervalle [3000;+oo[
Et donc les points à coordonnées entières ont leurs abscisses dans [3;3000] (cette question donne un intervalle pour faire tourner le programme Python)

[mathelot]

Ton programme Python est court ? Tu pourrais le publier ? Merci d'avance

[Oggyg]

Merci pour votre réponse
mais je n'ai pas totalement tout compris car pour moi cette notion est vraiment nouvelle du coup j'ai du mal à comprendre votre réponse notamment en quoi elle me serre pour répondre à la question
sinon
oui j'ai juste commencé le programme même si je n'ai jamais programmé aux parts avant ...
Et si vous voulez oui je vais essayer de le publier si je réussi à avancer...

[mathelot]

Merci pour votre réponse
mais je n'ai pas totalement tout compris car pour moi cette notion est vraiment nouvelle

Qu'est ce que tu n'as pas compris ??

[Oggyg]

Je ne comprends pas en quoi votre réponse avec f(2020)=1 .....
peut permettre de répondre à la question 4 ...

[mathelot]

Je ne comprends pas en quoi votre réponse avec f(2020)=1 .....
peut permettre de répondre à la question 4 ...

Ah oui d'accord. On a: f(2020)=1
Comme f est strictement décroissante sur] 2;+oo[
Pour x>2020, f(x) <f(2020),i.e, f(x) <1
En effet une fonction décroissante inverse l'ordre entre les antécédents et leurs images.

[Oggyg]

Merci j'ai un peu mieux compris mais je voudrais juste savoir comment vous avez trouvé 2020 ?

[mathelot]

J'ai trouvé 4 et 2020 grâce à ma démonstration d'arithmétique. Sinon on trouve 2020 en résolvant l'inéquation f(x) <1
qui a pour solutions ]2020;+oo[

[Oggyg]

Le petit problème c'est que je n'ai jamais vu cela ...
Du coup je ne suis pas censé l’utiliser...

[Oggyg]

Ah ok pour l'inéquation çela reste à mon niveau je pense,je vais essayer de la faire..
merci!