Résolution d'équation

[Shore3]

Bonjour à tous,

J'ai quitté l'école depuis un moment et les mathématiques n'étaient pas mon fort. Pas de bol, aujourd'hui j'en ai bien besoin
Il s'agit de trouver la base d'un triangle isocèle( a en cm ), je connais l'aire A= 0.75cm² et la mesure des deux cotés égaux en cm = b =rac(10)/2.
Après quelques recherches, je souhaitais utiliser la formule suivante :
A=(1/2)a* rac(b²-(a²/4))
Soit : 0.75=(a/2)*rac((rac(10)/2)^2-(a^2/4))

Le problème est que résoudre cette équation avec ma tête et une calculatrice est un enfer pour moi, je me retrouve très vite bloqué ou alors le résultat est faux. Quelqu'un pourrait il m'expliquer comment résoudre l'équation étape par étape pour que je comprenne bien la logique. Je pense que ce qui m’embête est la racine, et je dois faire une erreur quelque part en essayant de l'enlever.

Merci beaucoup!

[azertytreza]

Bonjour

ton triangle ABC est isocèle (adopte la convention d'écriture pour les triangles ça t'évitera pas mal de soucis)

longueur du segment [BC]

longueur du segment [AC]

longueur du segment [AB]

et là tu pose

tu recherche a

tu connais l'aire du triangle nommons- la



où est le demi-périmètre de ton triangle

ton problème se ramène donc à la solution de



est la seule inconnue de cette équation et comme elle est une longueur d'un segment d'un triangle non plat alors elle est une valeur strictement positive

[Lostounet]

Bonjour à tous,

J'ai quitté l'école depuis un moment et les mathématiques n'étaient pas mon fort. Pas de bol, aujourd'hui j'en ai bien besoin
Il s'agit de trouver la base d'un triangle isocèle( a en cm ), je connais l'aire A= 0.75cm² et la mesure des deux cotés égaux en cm = b =rac(10)/2.
Après quelques recherches, je souhaitais utiliser la formule suivante :
A=(1/2)a* rac(b²-(a²/4))
Soit : 0.75=(a/2)*rac((rac(10)/2)^2-(a^2/4))

Le problème est que résoudre cette équation avec ma tête et une calculatrice est un enfer pour moi, je me retrouve très vite bloqué ou alors le résultat est faux. Quelqu'un pourrait il m'expliquer comment résoudre l'équation étape par étape pour que je comprenne bien la logique. Je pense que ce qui m’embête est la racine, et je dois faire une erreur quelque part en essayant de l'enlever.

Merci beaucoup!

Salut,
Ta formule vient en fait du théorème de Pythagore et de la fameuse formule (Base * Hauteur)/2.

En fait ce qu'il faut commencer par faire, c'est simplifier un peu. Je te rappelle que
(car prendre la racine d'un nombre, c'est en fait la marche inverse du fait de prendre son carré ! En effet, puisque ).

Maintenant, on a donc un peu plus facilement:


Poursuivons, en rappelant que x/y - z/y = (x - z)/y donc en fait 10/4 - a^2/4 = (10 - a^2)/4




Et maintenant, si tu as bien compris, il reste la partie la plus gênante: cette foutue racine carrée.
Une manière de la virer est d'élever les deux cotés au carré !




donc:




Cela donne:



Saurais-tu maintenant essayer de simplifier un peu plus cette équation devenue plus facile?

[Shore3]

merci pour vos réponses très rapides!

Azertytreza : Excusez moi mais je ne comprends pas comment x est la seule inconnue. Puisque je n'ai pas a, je ne peux pas non plus avoir o? Est ce la formule d'Héron?

Lostounet :

Merci! Je transformais tout de suite le (rac(10)/2)² en 2.5.
Pour la suite de votre explication, je pense avoir compris même si en essayant de résoudre la suite, mon résultat est faux...

0.75²=(a²x (10-a²)/4
4x(0.75²)= a²x (10-a²)
2.25=10a²-a^4
2.25/10=(10a²-a^4)/10
0.0225=a²-a^4
0.0225=a²
0.15=a

Veuillez m'excusez pour l'écriture, l'éditeur d'équation ne fonctionne pas ( ou je ne sais pas m'en servir )

[azertytreza]

est-ce que tu me lis en dix secondes ou en quelques minutes?

tu recherche l'inconnue x (qui est le a que tu recherche)
est le demi-périmètre de ton triangle

sachant que tu connais b=c et que tu connais l'aire du triangle



combien y a t-il d'inconnue ici dans cette équation?

bah une seule et c'est x (qui est le côté a que tu recherche )

[Lostounet]

est-ce que tu me lis en dix secondes ou en quelques minutes?

tu recherche l'inconnue x (qui est le a que tu recherche)
est le demi-périmètre de ton triangle

sachant que tu connais b=c et que tu connais l'aire du triangle



combien y a t-il d'inconnue ici dans cette équation?

bah une seule et c'est x (qui est le côté a que tu recherche )

Après pourquoi utiliser la formule de Héron pour un triangle isocèle :p Pythagore fait bien l'affaire !

[Lostounet]

2.25/10=(10a²-a^4)/10
0.0225=a²-a^4
0.0225=a²

Pas si vite !!
Ou est parti le a^4 !?

[azertytreza]

J'ai pensé bien faire Lostounet (en fait j'ai répondu en premier et du coup j'ai continué)

ça peut lui servir pour tous les triangles (imagine qu'il revient avec un autre problème avec un triangle non isocèle)

ceci dit je te laisse avec lui (finalement c'est mieux)

[Lostounet]

J'ai pensé bien faire Lostounet (en fait j'ai répondu en premier et du coup j'ai continué)

ça peut lui servir pour tous les triangles (imagine qu'il revient avec un autre problème avec un triangle non isocèle)

ceci dit je te laisse avec lui (finalement c'est mieux)

Non non c'est pas ce que je voulais dire..
Tu es le bienvenu

C'est juste que je trouvais plus simple de poursuivre avec sa formule vu qu'il galère un peu mais pourquoi pas.

[Shore3]

2.25/10=(10a²-a^4)/10
0.0225=a²-a^4
0.0225=a²

Pas si vite !!
Ou est parti le a^4 !?

Lostounet,

Franchement, je suis bloqué. Je ne vois pas quoi faire, la soustraction me gène, je n'arrive plus à avancer

[danyL]

0.75²=(a²x (10-a²)/4
4x(0.75²)= a²x (10-a²)
2.25=10a²-a^4

bonsoir
à partir de :
2.25=10a²-a^4

- passer tous les termes à gauche du signe égal
- poser X = a² et remplacer dans l'équation
on se ramène alors à une équation du second degré en X
(tu sais résoudre une équation du 2nd degré ?)
- résoudre l'équation et trouver les solutions X1 et X2 si elles existent
- en déduire les valeurs de a

[Lostounet]

C'est pas grave de bloquer et de faire des erreurs !
C'est comme cela qu'on y arrive. Je vais donc essayer de t'expliquer ligne par ligne:

0.75²=(a²x (10-a²)/4
4x(0.75²)= a²x (10-a²)
2.25=10a²-a^4
)

Tout va bien ici

2.25/10=(10a²-a^4)/10
0.0225=a²-a^4
0.0225=a²
0.15=a

Ici ça se gate: quand tu divises par 10 les deux côtés tu as certes à gauche 2.25/10 mais à droite
(10a^2-a^4)/10 ne donne pas a^2-a^4 !

Je te rapelle que (a-b)/c = a/c - b/c du coup cela ferait 10a^2/10-a^4/10 = a^2-a^4/10

Après l'erreur suivante est que le a^4 a totalement disparu sans aucune raison ?

Maintenant que tu as compris un peu plus tes erreurs on voit bien que l'équation est un peu difficile: elle fait intervenir un nombre a^2 et son carré donc (a^2)^2 = a^4

On appelle cela une équation du second degré (tu ne vas pas pouvoir isoler a facilement, contrairement à une équation où tu n'aurais que a^2 ou bien que a par exemple).

Si on part de
2.25=10a²-a^4
La seule chose que l'on peut essayer c'est factoriser pour se ramener à une équation produit nul.

En ramenant tout à gauche:
a^4-10a^2+2.25= 0

Là il y a une méthode qui peut marcher (il faut l'avoir vu on ne peut pas l'inventer) c'est de faire apparaitre des identités remarquables. Tu les connais?

L'équation peut s'écrire:

(a^2 - 5)^2 - 22.75 = 0
Sais-tu le justifier?

Je te laisse conclure avec cette astuce. (Essaye ! Il faut sécher pour progresser !).

[Shore3]

Lostounet,

Je réussi à le justifier dans un sens mais dans l'autre, la gymnastique est beaucoup plus difficile pour moi :

(a²-5)²-22.75=0
a^4-2*5*a²+25-22.75=0
a^4-10a²+2.25=0

Du coup à partir de là :

(a²-5)²-22.75=0
(a²-5)²=22.75
a²-5= rac(22.75)
a²=5+rac(22.75)
a= rac ( 5+rac(22.75))
a=3.125

Me suis je encore trompé? Sur mon tracé la base fait 1cm

[Lostounet]

Non tu ne t'es pas trompé !
Mais on a fait une toute petite étourderie ici (et bravo pour avoir eu le réflexe de vérifier sur le dessin !)

donc:



Cela donne:



Saurais-tu maintenant essayer de simplifier un peu plus cette équation devenue plus facile?

Et en fait là, 4*4 en bas cela fait 16 et non pas 4 !



Du coup:




Soit:




Donc:
Ce qui signifie que

Et tu peux conclure !

Là c'est bien correct (j'ai refait les calculs)
Tu dois trouver deux solutions a priori !

N'oublie par qu'il faut écrire que 16 = 4^2 donc tu as une forme a^2 - b^2 à factoriser (ne prend pas juste la "racine de 16") car cela ne te permet pas d'obtenir toutes les solutions.

[Shore3]

Lostounet,

Je conclue a=3!
Effectivement, je n'avais pas vu la fin de ton message et j'ai pris seulement:
a²-5= rac(16)
a²=5+4
a= rac(9)
a=3

Je ne saisis pas l'histoire de 4² qui me permet j'imagine d'obtenir mon 1!

Je ne saisis pas

[Lostounet]

Lostounet,

Je conclue a=3!
Effectivement, je n'avais pas vu la fin de ton message et j'ai pris seulement:
a²-5= rac(16)
a²=5+4
a= rac(9)
a=3

Je ne saisis pas l'histoire de 4² qui me permet j'imagine d'obtenir mon 1!

Je ne saisis pas

Quand tu dis que le carré d'un nombre vaut 16, ce nombre peut être égal soit à 4 soit à -4 puisque 4^2 est égal à 16 et (-4)^2 aussi est égal à 16.

Ici tu as que donc a^2 - 5 = 4 ou bien a^2 - 5 = (-4)

Le premier cas donne a^2 = 9 donc a = 3 ou bien a = -3
le second cas donne a^2 = 1 donc a = 1 ou bien -1

Mais a est une longueur donc a > 0 ce qui laisse uniquement a = 3 ou bien a = 1

On aurait pu écrire
(a^2 - 5)^2 - 16 = 0
équivaut à
(a^2 - 5)^2 - 4^2 = 0

donc, en utilisant la formule A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) :


donc:




en la réutilisant:








Là il faut penser à vérifier a = 1 ou bien a = 3 (puisqu'on a élevé au carré en cours de route, cela peut ajouter des solutions parasites).

C'est pour cela qu'il faut éviter de prendre la racine carrée dans une équation car si on s'y prend mal cela engendre des erreurs/des pertes.

[Shore3]

Lostounet,

J'en ai refait plusieurs ce matin, je pense que j'ai compris comment faire!

Merci beaucoup pour ta patience et ta pédagogie!